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Theorem gexlem2 17162
Description: Any positive annihilator of all the group elements is an upper bound on the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexlem2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, V    x, X    x,  .0.    x, 
.x.

Proof of Theorem gexlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
y  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
21eqeq1d 2422 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
32ralbidv 2862 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
43elrab 3226 . . 3  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5 gexcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 gexid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 gexid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
8 gexcl.2 . . . . . 6  |-  E  =  (gEx `  G )
9 eqid 2420 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
105, 6, 7, 8, 9gexval 17158 . . . . 5  |-  ( G  e.  V  ->  E  =  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
11 ne0i 3764 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =/=  (/) )
12 ifnefalse 3918 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =/=  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
1410, 13sylan9eq 2481 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  E  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
15 ssrab2 3543 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  C_  NN
16 nnuz 11183 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16sseqtri 3493 . . . . . . 7  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
1811adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =/=  (/) )
19 infmssuzclOLD 11236 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =/=  (/) )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )
2017, 18, 19sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )
2115, 20sseldi 3459 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
22 infmssuzleOLD 11235 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2317, 22mpan 674 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
2423adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
25 elrabi 3223 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  N  e.  NN )
2625nnzd 11028 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  N  e.  ZZ )
27 fznn 11850 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2826, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2928adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
3021, 24, 29mpbir2and 930 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N ) )
3114, 30eqeltrd 2508 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
324, 31sylan2br 478 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( N  e.  NN  /\ 
A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  e.  ( 1 ... N ) )
33323impb 1201 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   {crab 2777    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ifcif 3906   class class class wbr 4417   `'ccnv 4844   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   supcsup 7951   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    < clt 9664    <_ cle 9665   NNcn 10598   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   ...cfz 11771   Basecbs 15073   0gc0g 15290  .gcmg 16616  gExcgex 17110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-gex 17114
This theorem is referenced by:  gexdvds  17164  gexcl3  17167  gex1  17171
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