MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexlem2 Structured version   Unicode version

Theorem gexlem2 16093
Description: Any positive annihilator of all the group elements is an upper bound on the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexlem2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, V    x, X    x,  .0.    x, 
.x.

Proof of Theorem gexlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6110 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
y  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
21eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
32ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
43elrab 3129 . . 3  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5 gexcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 gexid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 gexid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
8 gexcl.2 . . . . . 6  |-  E  =  (gEx `  G )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
105, 6, 7, 8, 9gexval 16089 . . . . 5  |-  ( G  e.  V  ->  E  =  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
11 ne0i 3655 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =/=  (/) )
12 ifnefalse 3813 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =/=  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  if ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
1410, 13sylan9eq 2495 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  E  =  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )
15 ssrab2 3449 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  C_  NN
16 nnuz 10908 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16sseqtri 3400 . . . . . . 7  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
1811adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =/=  (/) )
19 infmssuzcl 10950 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =/=  (/) )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )
2017, 18, 19sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )
2115, 20sseldi 3366 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
22 infmssuzle 10949 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2317, 22mpan 670 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
2423adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
25 elrabi 3126 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  N  e.  NN )
2625nnzd 10758 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  N  e.  ZZ )
27 fznn 11538 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2928adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
3021, 24, 29mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N ) )
3114, 30eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
} )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
324, 31sylan2br 476 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( N  e.  NN  /\ 
A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  e.  ( 1 ... N ) )
33323impb 1183 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   {crab 2731    C_ wss 3340   (/)c0 3649   ifcif 3803   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supcsup 7702   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    < clt 9430    <_ cle 9431   NNcn 10334   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449   Basecbs 14186   0gc0g 14390  .gcmg 15426  gExcgex 16041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-gex 16045
This theorem is referenced by:  gexdvds  16095  gexcl3  16098  gex1  16102
  Copyright terms: Public domain W3C validator