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Theorem gexexlem 17182
Description: Lemma for gexex 17183. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexex.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexex.3  |-  O  =  ( od `  G
)
gexexlem.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
gexexlem.2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
gexexlem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
gexexlem.4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  A
) )
Assertion
Ref Expression
gexexlem  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
Distinct variable groups:    y, A    y, E    y, G    y, O    ph, y    y, X

Proof of Theorem gexexlem
Dummy variables  x  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexexlem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 gexex.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 gexex.3 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
42, 3odcl 16884 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
51, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
6 gexexlem.2 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
76nnnn0d 10893 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
8 gexexlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 17127 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 gexex.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
122, 11, 3gexod 16930 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  ||  E )
1310, 1, 12syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  ||  E )
148ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
1510ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  G  e.  Grp )
16 prmnn 14429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  NN )
18 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  E  e.  NN )
201ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  X )
212, 11, 3gexnnod 16932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
2215, 19, 20, 21syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
2318, 22pccld 14583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
2417, 23nnexpcld 12375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN )
2524nnzd 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ )
26 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
272, 26mulgcl 16483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
2815, 25, 20, 27syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
29 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  e.  X )
302, 11, 3gexnnod 16932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
3115, 19, 29, 30syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
32 pcdvds 14596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  x )  e.  NN )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x ) )
3318, 31, 32syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x ) )
3418, 31pccld 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  e. 
NN0 )
3517, 34nnexpcld 12375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN )
36 nndivdvds 14201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  NN  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN )  -> 
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  ||  ( O `  x )  <->  ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN ) )
3731, 35, 36syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) 
||  ( O `  x )  <->  ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  e.  NN ) )
3833, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN )
3938nnzd 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ )
402, 26mulgcl 16483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )
4115, 39, 29, 40syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )
422, 3, 26odmulg 16902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  A
)  =  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
4315, 20, 25, 42syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
44 pcdvds 14596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A ) )
4518, 22, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A ) )
46 gcdeq 14399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  ||  ( O `  A )
) )
4724, 22, 46syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  ||  ( O `  A )
) )
4845, 47mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  gcd  ( O `  A ) )  =  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )
4948oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ) )  =  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  =  ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) ) )
5150oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  =  ( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
522, 11, 3gexnnod 16932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )  ->  ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) )  e.  NN )
5315, 19, 28, 52syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  e.  NN )
5453nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  e.  CC )
5524nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  CC )
5624nnne0d 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  =/=  0 )
5754, 55, 56divcan3d 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  x.  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ) )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  =  ( O `
 ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ) )
5851, 57eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  =  ( ( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
592, 11, 3gexnnod 16932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E  e.  NN  /\  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  ->  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  NN )
6015, 19, 41, 59syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  NN )
6160nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  CC )
6235nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  CC )
6338nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  CC )
6438nnne0d 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =/=  0 )
6531nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  e.  CC )
6635nnne0d 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  =/=  0 )
6765, 62, 66divcan1d 10362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( O `  x
) )
682, 3, 26odmulg 16902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  x.  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
6915, 29, 39, 68syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  x )  =  ( ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `  x
) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
7035nnzd 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )
71 dvdsmul1 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7239, 70, 71syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7372, 67breqtrd 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( O `  x ) )
74 gcdeq 14399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  x )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  gcd  ( O `  x
) )  =  ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <->  ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) )  ||  ( O `  x ) ) )
7538, 31, 74syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  =  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <->  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  ||  ( O `
 x ) ) )
7673, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  =  ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7776oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  gcd  ( O `
 x ) )  x.  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( O `
 ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
7867, 69, 773eqtrrd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( O `
 ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  x )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
7961, 62, 63, 64, 78mulcanad 10225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  =  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )
8058, 79oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  gcd  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
81 nndivdvds 14201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN )  -> 
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  ||  ( O `  A )  <->  ( ( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN ) )
8222, 24, 81syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) 
||  ( O `  A )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  e.  NN ) )
8345, 82mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN )
8483nnzd 11007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ )
85 gcdcom 14367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) ) )
8684, 70, 85syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  =  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) ) )
87 pcndvds2 14600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  -.  p  ||  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
8818, 22, 87syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  -.  p  ||  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
89 coprm 14450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  p  ||  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <->  ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9018, 84, 89syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  ||  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <->  ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9188, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  gcd  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) ) )  =  1 )
92 prmz 14430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
9392adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
94 rpexp1i 14471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p  pCnt  ( O `
 x ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( p  gcd  ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1  ->  ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9593, 84, 34, 94syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p  gcd  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 ) )
9691, 95mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  gcd  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )  =  1 )
9780, 86, 963eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  gcd  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  1 )
98 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
993, 2, 98odadd 17180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  /\  ( ( O `  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) )  gcd  ( O `  ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  1 )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
10014, 28, 41, 97, 99syl31anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
10158, 79oveq12d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) )  x.  ( O `  ( (
( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
102100, 101eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
1032, 98grpcl 16387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( ( O `  x
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x )  e.  X )  -> 
( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X
)
10415, 28, 41, 103syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X
)
105 gexexlem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( O `  y )  <_  ( O `  A
) )
106105ralrimiva 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A ) )
107106ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A )
)
108 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) )  ->  ( O `  y )  =  ( O `  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) ) )
109108breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) )  ->  ( ( O `  y )  <_  ( O `  A
)  <->  ( O `  ( ( ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_ 
( O `  A
) ) )
110109rspcv 3156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) )  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  ( O `  y )  <_  ( O `  A )  ->  ( O `  (
( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) (.g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `
 x )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_ 
( O `  A
) ) )
111104, 107, 110sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) (.g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( ( O `  x )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) (.g `  G ) x ) ) )  <_  ( O `  A )
)
112102, 111eqbrtrrd 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <_ 
( O `  A
) )
11383nnred 10591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  e.  RR )
11422nnred 10591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( O `  A )  e.  RR )
11535nnrpd 11302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+ )
116113, 114, 115lemuldivd 11349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  <_ 
( O `  A
)  <->  ( ( O `
 A )  / 
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  <_  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) ) ) ) )
117112, 116mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( O `  A
)  /  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
118 nnrp 11274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+ )
119 nnrp 11274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+ )
120 nnrp 11274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
121 rpregt0 11278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) ) ) )
122 rpregt0 11278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+  ->  ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
123 rpregt0 11278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O `  A )  e.  RR+  ->  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `  A
) ) )
124 lediv2 10475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  x )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) ) )  /\  ( ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  A ) ) ) )  /\  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `
 A ) ) )  ->  ( (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
125121, 122, 123, 124syl3an 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  RR+  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  RR+  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
126118, 119, 120, 125syl3an 1272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  e.  NN  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) )  e.  NN  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
12735, 24, 22, 126syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p ^ (
p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )  <_ 
( ( O `  A )  /  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) ) ) ) )
128117, 127mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  ( p ^
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )
12917nnred 10591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
13034nn0zd 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  e.  ZZ )
13123nn0zd 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
132 prmuz2 14444 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
133132adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
134 eluz2b2 11199 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
135134simprbi 462 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
136133, 135syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
137129, 130, 131, 136leexp2d 12384 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( p  pCnt  ( O `  x )
)  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( O `  x ) ) )  <_  (
p ^ ( p 
pCnt  ( O `  A ) ) ) ) )
138128, 137mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  <_ 
( p  pCnt  ( O `  A )
) )
139138ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( O `  x ) )  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) ) )
1402, 3odcl 16884 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
141140adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
142141nn0zd 11006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
1435nn0zd 11006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
144143adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
145 pc2dvds 14611 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  ||  ( O `  A )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  ( O `  x ) )  <_ 
( p  pCnt  ( O `  A )
) ) )
146142, 144, 145syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( O `  x
)  ||  ( O `  A )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( O `  x ) )  <_  ( p  pCnt  ( O `  A
) ) ) )
147139, 146mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( O `  x )  ||  ( O `  A
) )
148147ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) )
1492, 11, 3gexdvds2 16929 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( E  ||  ( O `  A )  <->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) ) )
15010, 143, 149syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  ||  ( O `  A )  <->  A. x  e.  X  ( O `  x ) 
||  ( O `  A ) ) )
151148, 150mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E  ||  ( O `
 A ) )
152 dvdseq 14242 . 2  |-  ( ( ( ( O `  A )  e.  NN0  /\  E  e.  NN0 )  /\  ( ( O `  A )  ||  E  /\  E  ||  ( O `
 A ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
1535, 7, 13, 151, 152syl22anc 1231 1  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    x. cmul 9527    < clt 9658    <_ cle 9659    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   RR+crp 11265   ^cexp 12210    || cdvds 14195    gcd cgcd 14353   Primecprime 14426    pCnt cpc 14569   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   Grpcgrp 16377  .gcmg 16380   odcod 16873  gExcgex 16874   Abelcabl 17123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-od 16877  df-gex 16878  df-cmn 17124  df-abl 17125
This theorem is referenced by:  gexex  17183
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