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Theorem gexdvds 16207
Description: The only  N that annihilate all the elements of the group are the multiples of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexdvds  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, X    x,  .0.    x,  .x.

Proof of Theorem gexdvds
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gexcl.2 . . . . . 6  |-  E  =  (gEx `  G )
3 gexid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 gexid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
51, 2, 3, 4gexdvdsi 16206 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  E  ||  N )  -> 
( N  .x.  x
)  =  .0.  )
653expia 1190 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( E  ||  N  ->  ( N  .x.  x
)  =  .0.  )
)
76ralrimdva 2912 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E  ||  N  ->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  ->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
9 noel 3752 . . . . . . 7  |-  -.  ( abs `  N )  e.  (/)
10 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( y  .x.  x )  =  ( ( abs `  N
)  .x.  x )
)
1110eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( (
y  .x.  x )  =  .0.  <->  ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  )
)
1211ralbidv 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
1312elrab 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  /\ 
A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
14 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) )
1514eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  <->  ( abs `  N )  e.  (/) ) )
1613, 15syl5rbbr 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  (/)  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N )  .x.  x )  =  .0.  ) ) )
1716rbaibd 901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  (
( abs `  N
)  e.  (/)  <->  ( abs `  N )  e.  NN ) )
189, 17mtbii 302 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  -.  ( abs `  N )  e.  NN )
1918ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ->  -.  ( abs `  N )  e.  NN ) )
20 nn0abscl 12922 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e. 
NN0 )
2120ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( abs `  N )  e. 
NN0 )
22 elnn0 10695 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  N )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  \/  ( abs `  N
)  =  0 ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  NN  \/  ( abs `  N )  =  0 ) )
2423ord 377 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( -.  ( abs `  N
)  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  0 ) )
2519, 24syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ->  ( abs `  N )  =  0 ) )
26 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  ( abs `  N )  =  N )
2726oveq1d 6218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
2827eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  (
( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
29 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  =  -u N  ->  (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  ( -u N  .x.  x ) )
3029eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  N )  =  -u N  ->  (
( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( -u N  .x.  x )  =  .0.  ) )
31 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
321, 3, 31mulgneg 15767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  x ) ) )
33323expa 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( N  .x.  x ) ) )
344, 31grpinvid 15711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( invg `  G ) `  .0.  )  =  .0.  )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 .0.  )  =  .0.  )
3635eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( ( invg `  G ) `  .0.  ) )
3733, 36eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( -u N  .x.  x )  =  .0.  <->  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  x ) )  =  ( ( invg `  G ) `  .0.  ) ) )
38 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
391, 3mulgcl 15766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( N  .x.  x )  e.  X )
40393expa 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N  .x.  x )  e.  X
)
411, 4grpidcl 15688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  e.  X )
431, 31, 38, 40, 42grpinv11 15717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  ( N  .x.  x ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 .0.  )  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
4437, 43bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( -u N  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
4530, 44sylan9bbr 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  = 
-u N )  -> 
( ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
46 zre 10764 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4746ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  RR )
4847absord 13023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  N )  =  N  \/  ( abs `  N )  =  -u N ) )
4928, 45, 48mpjaodan 784 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5049ralbidva 2844 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5150adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
52 0dvds 13674 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
5352ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
54 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  E  =  0 )
5554breq1d 4413 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( E  ||  N  <->  0  ||  N ) )
56 zcn 10765 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5756ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  N  e.  CC )
5857abs00ad 12900 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  =  0  <->  N  =  0 ) )
5953, 55, 583bitr4rd 286 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  =  0  <->  E  ||  N ) )
6025, 51, 593imtr3d 267 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ->  E  ||  N ) )
61 elrabi 3221 . . . 4  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  E  e.  NN )
6246adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
63 nnrp 11114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  RR+ )
64 modval 11830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  mod  E
)  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6562, 63, 64syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( N  mod  E )  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6766oveq1d 6218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  ( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) ) ) 
.x.  x ) )
68 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  G  e.  Grp )
69 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  N  e.  ZZ )
70 nnz 10782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  ZZ )
7170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  e.  ZZ )
72 rerpdivcl 11132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  /  E
)  e.  RR )
7362, 63, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  /  E )  e.  RR )
7473flcld 11768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  E
) )  e.  ZZ )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  E
) )  e.  ZZ )
7671, 75zmulcld 10867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  e.  ZZ )
77 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  x  e.  X
)
78 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
791, 3, 78mulgsubdir 15780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  .x.  x )  =  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) ) )
8068, 69, 76, 77, 79syl13anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  .x.  x
)  =  ( ( N  .x.  x ) ( -g `  G
) ( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) )  .x.  x ) ) )
81 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( N  .x.  x )  =  .0.  )
82 dvdsmul1 13675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  E ) )  e.  ZZ )  ->  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )
8371, 75, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) ) )
841, 2, 3, 4gexdvdsi 16206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  ->  (
( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) 
.x.  x )  =  .0.  )
8568, 77, 83, 84syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) )  .x.  x )  =  .0.  )
8681, 85oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) )  =  (  .0.  ( -g `  G
)  .0.  ) )
87 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  G  e.  Grp )
8841ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  .0.  e.  X
)
891, 4, 78grpsubid 15732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  X )  -> 
(  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9087, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  (  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9190adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  (  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9286, 91eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) )  =  .0.  )
9367, 80, 923eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  )
9493expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N  .x.  x
)  =  .0.  ->  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
9594ralimdva 2832 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  ) )
96 modlt 11838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  mod  E
)  <  E )
9762, 63, 96syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  <  E )
98 zmodcl 11847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E
)  e.  NN0 )
9998adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  e.  NN0 )
10099nn0red 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  e.  RR )
101 nnre 10443 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  RR )
102101adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  E  e.  RR )
103100, 102ltnled 9635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  E )  < 
E  <->  -.  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
10497, 103mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  -.  E  <_  ( N  mod  E ) )
1051, 2, 3, 4gexlem2 16205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... ( N  mod  E ) ) )
106 elfzle2 11575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  ( 1 ... ( N  mod  E
) )  ->  E  <_  ( N  mod  E
) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  <_  ( N  mod  E
) )
1081073expia 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
109108impancom 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  (
( N  mod  E
)  e.  NN  ->  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
110109con3d 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  ( -.  E  <_  ( N  mod  E )  ->  -.  ( N  mod  E
)  e.  NN ) )
111110ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  ->  ( -.  E  <_  ( N  mod  E )  ->  -.  ( N  mod  E
)  e.  NN ) ) )
112111ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  ( -.  E  <_ 
( N  mod  E
)  ->  -.  ( N  mod  E )  e.  NN ) ) )
113104, 112mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  -.  ( N  mod  E )  e.  NN ) )
114 elnn0 10695 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  mod  E )  e.  NN0  <->  ( ( N  mod  E )  e.  NN  \/  ( N  mod  E )  =  0 ) )
11599, 114sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  E )  e.  NN  \/  ( N  mod  E )  =  0 ) )
116115ord 377 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  mod  E )  e.  NN  ->  ( N  mod  E )  =  0 ) )
11795, 113, 1163syld 55 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  ( N  mod  E
)  =  0 ) )
118 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  E  e.  NN )
119 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
120 dvdsval3 13660 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  ( N  mod  E )  =  0 ) )
121118, 119, 120syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( E  ||  N 
<->  ( N  mod  E
)  =  0 ) )
122117, 121sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  E  ||  N ) )
12361, 122sylan2 474 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
)  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ->  E  ||  N
) )
124 eqid 2454 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
1251, 3, 4, 2, 124gexlem1 16202 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ) )
126125adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
) )
12760, 123, 126mpjaodan 784 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  E  ||  N ) )
1288, 127impbid 191 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709   -ucneg 9710    / cdiv 10107   NNcn 10436   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   RR+crp 11105   ...cfz 11557   |_cfl 11760    mod cmo 11828   abscabs 12844    || cdivides 13656   Basecbs 14295   0gc0g 14500   Grpcgrp 15532   invgcminusg 15533   -gcsg 15535  .gcmg 15536  gExcgex 16153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-dvds 13657  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-gex 16157
This theorem is referenced by:  gexdvds2  16208
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