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Theorem gexdvds 17283
Description: The only  N that annihilate all the elements of the group are the multiples of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexdvds  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, X    x,  .0.    x,  .x.

Proof of Theorem gexdvds
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gexcl.2 . . . . . 6  |-  E  =  (gEx `  G )
3 gexid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 gexid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
51, 2, 3, 4gexdvdsi 17282 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  E  ||  N )  -> 
( N  .x.  x
)  =  .0.  )
653expia 1217 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( E  ||  N  ->  ( N  .x.  x
)  =  .0.  )
)
76ralrimdva 2817 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E  ||  N  ->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
87adantr 471 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  ->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
9 noel 3746 . . . . . . 7  |-  -.  ( abs `  N )  e.  (/)
10 oveq1 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( y  .x.  x )  =  ( ( abs `  N
)  .x.  x )
)
1110eqeq1d 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( (
y  .x.  x )  =  .0.  <->  ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  )
)
1211ralbidv 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
1312elrab 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  /\ 
A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
14 simprr 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) )
1514eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  <->  ( abs `  N )  e.  (/) ) )
1613, 15syl5rbbr 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  (/)  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N )  .x.  x )  =  .0.  ) ) )
1716rbaibd 926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  (
( abs `  N
)  e.  (/)  <->  ( abs `  N )  e.  NN ) )
189, 17mtbii 308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  -.  ( abs `  N )  e.  NN )
1918ex 440 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ->  -.  ( abs `  N )  e.  NN ) )
20 nn0abscl 13423 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e. 
NN0 )
2120ad2antlr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( abs `  N )  e. 
NN0 )
22 elnn0 10899 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  N )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  \/  ( abs `  N
)  =  0 ) )
2321, 22sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  NN  \/  ( abs `  N )  =  0 ) )
2423ord 383 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( -.  ( abs `  N
)  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  0 ) )
2519, 24syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ->  ( abs `  N )  =  0 ) )
26 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  ( abs `  N )  =  N )
2726oveq1d 6329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
2827eqeq1d 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  (
( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
29 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  =  -u N  ->  (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  ( -u N  .x.  x ) )
3029eqeq1d 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  N )  =  -u N  ->  (
( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( -u N  .x.  x )  =  .0.  ) )
31 eqid 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
321, 3, 31mulgneg 16824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  x ) ) )
33323expa 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( N  .x.  x ) ) )
344, 31grpinvid 16765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( invg `  G ) `  .0.  )  =  .0.  )
3534ad2antrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 .0.  )  =  .0.  )
3635eqcomd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( ( invg `  G ) `  .0.  ) )
3733, 36eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( -u N  .x.  x )  =  .0.  <->  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  x ) )  =  ( ( invg `  G ) `  .0.  ) ) )
38 simpll 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
391, 3mulgcl 16823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( N  .x.  x )  e.  X )
40393expa 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N  .x.  x )  e.  X
)
411, 4grpidcl 16742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
4241ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  e.  X )
431, 31, 38, 40, 42grpinv11 16771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  ( N  .x.  x ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 .0.  )  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
4437, 43bitrd 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( -u N  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
4530, 44sylan9bbr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  = 
-u N )  -> 
( ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
46 zre 10969 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4746ad2antlr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  RR )
4847absord 13525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  N )  =  N  \/  ( abs `  N )  =  -u N ) )
4928, 45, 48mpjaodan 800 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5049ralbidva 2835 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5150adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
52 0dvds 14371 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
5352ad2antlr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
54 simprl 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  E  =  0 )
5554breq1d 4425 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( E  ||  N  <->  0  ||  N ) )
56 zcn 10970 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5756ad2antlr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  N  e.  CC )
5857abs00ad 13401 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  =  0  <->  N  =  0 ) )
5953, 55, 583bitr4rd 294 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  =  0  <->  E  ||  N ) )
6025, 51, 593imtr3d 275 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ->  E  ||  N ) )
61 elrabi 3204 . . . 4  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  E  e.  NN )
6246adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
63 nnrp 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  RR+ )
64 modval 12129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  mod  E
)  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6562, 63, 64syl2an 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6665adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( N  mod  E )  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6766oveq1d 6329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  ( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) ) ) 
.x.  x ) )
68 simplll 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  G  e.  Grp )
69 simpllr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  N  e.  ZZ )
70 nnz 10987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  ZZ )
7170ad2antlr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  e.  ZZ )
72 rerpdivcl 11358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  /  E
)  e.  RR )
7362, 63, 72syl2an 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  /  E )  e.  RR )
7473flcld 12065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  E
) )  e.  ZZ )
7574adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  E
) )  e.  ZZ )
7671, 75zmulcld 11074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  e.  ZZ )
77 simprl 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  x  e.  X
)
78 eqid 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
791, 3, 78mulgsubdir 16837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  .x.  x )  =  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) ) )
8068, 69, 76, 77, 79syl13anc 1278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  .x.  x
)  =  ( ( N  .x.  x ) ( -g `  G
) ( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) )  .x.  x ) ) )
81 simprr 771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( N  .x.  x )  =  .0.  )
82 dvdsmul1 14372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  E ) )  e.  ZZ )  ->  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )
8371, 75, 82syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) ) )
841, 2, 3, 4gexdvdsi 17282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  ->  (
( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) 
.x.  x )  =  .0.  )
8568, 77, 83, 84syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) )  .x.  x )  =  .0.  )
8681, 85oveq12d 6332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) )  =  (  .0.  ( -g `  G
)  .0.  ) )
87 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  G  e.  Grp )
8841ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  .0.  e.  X
)
891, 4, 78grpsubid 16786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  X )  -> 
(  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9087, 88, 89syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  (  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9190adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  (  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9286, 91eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) )  =  .0.  )
9367, 80, 923eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  )
9493expr 624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N  .x.  x
)  =  .0.  ->  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
9594ralimdva 2807 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  ) )
96 modlt 12138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  mod  E
)  <  E )
9762, 63, 96syl2an 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  <  E )
98 zmodcl 12147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E
)  e.  NN0 )
9998adantll 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  e.  NN0 )
10099nn0red 10954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  e.  RR )
101 nnre 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  RR )
102101adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  E  e.  RR )
103100, 102ltnled 9807 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  E )  < 
E  <->  -.  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
10497, 103mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  -.  E  <_  ( N  mod  E ) )
1051, 2, 3, 4gexlem2 17281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... ( N  mod  E ) ) )
106 elfzle2 11831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  ( 1 ... ( N  mod  E
) )  ->  E  <_  ( N  mod  E
) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  <_  ( N  mod  E
) )
1081073expia 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
109108impancom 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  (
( N  mod  E
)  e.  NN  ->  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
110109con3d 140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  ( -.  E  <_  ( N  mod  E )  ->  -.  ( N  mod  E
)  e.  NN ) )
111110ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  ->  ( -.  E  <_  ( N  mod  E )  ->  -.  ( N  mod  E
)  e.  NN ) ) )
112111ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  ( -.  E  <_ 
( N  mod  E
)  ->  -.  ( N  mod  E )  e.  NN ) ) )
113104, 112mpid 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  -.  ( N  mod  E )  e.  NN ) )
114 elnn0 10899 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  mod  E )  e.  NN0  <->  ( ( N  mod  E )  e.  NN  \/  ( N  mod  E )  =  0 ) )
11599, 114sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  E )  e.  NN  \/  ( N  mod  E )  =  0 ) )
116115ord 383 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  mod  E )  e.  NN  ->  ( N  mod  E )  =  0 ) )
11795, 113, 1163syld 57 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  ( N  mod  E
)  =  0 ) )
118 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  E  e.  NN )
119 simplr 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
120 dvdsval3 14357 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  ( N  mod  E )  =  0 ) )
121118, 119, 120syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( E  ||  N 
<->  ( N  mod  E
)  =  0 ) )
122117, 121sylibrd 242 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  E  ||  N ) )
12361, 122sylan2 481 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
)  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ->  E  ||  N
) )
124 eqid 2461 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
1251, 3, 4, 2, 124gexlem1 17276 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ) )
126125adantr 471 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
) )
12760, 123, 126mpjaodan 800 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  E  ||  N ) )
1288, 127impbid 195 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    x. cmul 9569    < clt 9700    <_ cle 9701    - cmin 9885   -ucneg 9886    / cdiv 10296   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   RR+crp 11330   ...cfz 11812   |_cfl 12057    mod cmo 12127   abscabs 13345    || cdvds 14353   Basecbs 15169   0gc0g 15386   Grpcgrp 16717   invgcminusg 16718   -gcsg 16719  .gcmg 16720  gExcgex 17215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-dvds 14354  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-gex 17222
This theorem is referenced by:  gexdvds2  17285
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