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Theorem gexdvds 16074
Description: The only  N that annihilate all the elements of the group are the multiples of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gexid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gexdvds  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, X    x,  .0.    x,  .x.

Proof of Theorem gexdvds
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gexcl.2 . . . . . 6  |-  E  =  (gEx `  G )
3 gexid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 gexid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
51, 2, 3, 4gexdvdsi 16073 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  E  ||  N )  -> 
( N  .x.  x
)  =  .0.  )
653expia 1189 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( E  ||  N  ->  ( N  .x.  x
)  =  .0.  )
)
76ralrimdva 2801 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E  ||  N  ->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  ->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
9 noel 3636 . . . . . . 7  |-  -.  ( abs `  N )  e.  (/)
10 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( y  .x.  x )  =  ( ( abs `  N
)  .x.  x )
)
1110eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( (
y  .x.  x )  =  .0.  <->  ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  )
)
1211ralbidv 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  N
)  ->  ( A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
1312elrab 3112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  /\ 
A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
14 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) )
1514eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  <->  ( abs `  N )  e.  (/) ) )
1613, 15syl5rbbr 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  (/)  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N )  .x.  x )  =  .0.  ) ) )
1716rbaibd 901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  (
( abs `  N
)  e.  (/)  <->  ( abs `  N )  e.  NN ) )
189, 17mtbii 302 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }  =  (/) ) )  /\  A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  -.  ( abs `  N )  e.  NN )
1918ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ->  -.  ( abs `  N )  e.  NN ) )
20 nn0abscl 12793 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e. 
NN0 )
2120ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( abs `  N )  e. 
NN0 )
22 elnn0 10573 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  N )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  N )  e.  NN  \/  ( abs `  N
)  =  0 ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  e.  NN  \/  ( abs `  N )  =  0 ) )
2423ord 377 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( -.  ( abs `  N
)  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  0 ) )
2519, 24syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  ->  ( abs `  N )  =  0 ) )
26 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  ( abs `  N )  =  N )
2726oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
2827eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  =  N )  ->  (
( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
29 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  =  -u N  ->  (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  ( -u N  .x.  x ) )
3029eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  N )  =  -u N  ->  (
( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( -u N  .x.  x )  =  .0.  ) )
31 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
321, 3, 31mulgneg 15636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  x ) ) )
33323expa 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( N  .x.  x ) ) )
344, 31grpinvid 15580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( invg `  G ) `  .0.  )  =  .0.  )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 .0.  )  =  .0.  )
3635eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( ( invg `  G ) `  .0.  ) )
3733, 36eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( -u N  .x.  x )  =  .0.  <->  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  x ) )  =  ( ( invg `  G ) `  .0.  ) ) )
38 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
391, 3mulgcl 15635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  X )  ->  ( N  .x.  x )  e.  X )
40393expa 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N  .x.  x )  e.  X
)
411, 4grpidcl 15557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  e.  X )
431, 31, 38, 40, 42grpinv11 15586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  ( N  .x.  x ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 .0.  )  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
4437, 43bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( -u N  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
4530, 44sylan9bbr 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X )  /\  ( abs `  N )  = 
-u N )  -> 
( ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
46 zre 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4746ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  RR )
4847absord 12894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  N )  =  N  \/  ( abs `  N )  =  -u N ) )
4928, 45, 48mpjaodan 784 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5049ralbidva 2726 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N )  .x.  x
)  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
5150adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( abs `  N
)  .x.  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
52 0dvds 13545 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
5352ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
54 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  E  =  0 )
5554breq1d 4297 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( E  ||  N  <->  0  ||  N ) )
56 zcn 10643 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5756ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  N  e.  CC )
5857abs00ad 12771 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  =  0  <->  N  =  0 ) )
5953, 55, 583bitr4rd 286 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  (
( abs `  N
)  =  0  <->  E  ||  N ) )
6025, 51, 593imtr3d 267 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ->  E  ||  N ) )
61 elrabi 3109 . . . 4  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  ->  E  e.  NN )
6246adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
63 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  RR+ )
64 modval 11702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  mod  E
)  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6562, 63, 64syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( N  mod  E )  =  ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) ) )
6766oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  ( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) ) ) 
.x.  x ) )
68 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  G  e.  Grp )
69 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  N  e.  ZZ )
70 nnz 10660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  ZZ )
7170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  e.  ZZ )
72 rerpdivcl 11010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  /  E
)  e.  RR )
7362, 63, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  /  E )  e.  RR )
7473flcld 11640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  E
) )  e.  ZZ )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  E
) )  e.  ZZ )
7671, 75zmulcld 10745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  e.  ZZ )
77 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  x  e.  X
)
78 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
791, 3, 78mulgsubdir 15649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  .x.  x )  =  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) ) )
8068, 69, 76, 77, 79syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  -  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  .x.  x
)  =  ( ( N  .x.  x ) ( -g `  G
) ( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) )  .x.  x ) ) )
81 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( N  .x.  x )  =  .0.  )
82 dvdsmul1 13546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  E ) )  e.  ZZ )  ->  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )
8371, 75, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) ) )
841, 2, 3, 4gexdvdsi 16073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  E  ||  ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) )  ->  (
( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) ) 
.x.  x )  =  .0.  )
8568, 77, 83, 84syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E
) ) )  .x.  x )  =  .0.  )
8681, 85oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) )  =  (  .0.  ( -g `  G
)  .0.  ) )
87 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  G  e.  Grp )
8841ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  .0.  e.  X
)
891, 4, 78grpsubid 15601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  X )  -> 
(  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9087, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  (  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9190adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  (  .0.  ( -g `  G )  .0.  )  =  .0.  )
9286, 91eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N 
.x.  x ) (
-g `  G )
( ( E  x.  ( |_ `  ( N  /  E ) ) )  .x.  x ) )  =  .0.  )
9367, 80, 923eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  )
9493expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N  .x.  x
)  =  .0.  ->  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  ) )
9594ralimdva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  ) )
96 modlt 11710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( N  mod  E
)  <  E )
9762, 63, 96syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  <  E )
98 zmodcl 11719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E
)  e.  NN0 )
9998adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  e.  NN0 )
10099nn0red 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( N  mod  E )  e.  RR )
101 nnre 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  NN  ->  E  e.  RR )
102101adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  E  e.  RR )
103100, 102ltnled 9513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  E )  < 
E  <->  -.  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
10497, 103mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  -.  E  <_  ( N  mod  E ) )
1051, 2, 3, 4gexlem2 16072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  e.  ( 1 ... ( N  mod  E ) ) )
106 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  ( 1 ... ( N  mod  E
) )  ->  E  <_  ( N  mod  E
) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  E  <_  ( N  mod  E
) )
1081073expia 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  mod  E )  e.  NN )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
109108impancom 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  (
( N  mod  E
)  e.  NN  ->  E  <_  ( N  mod  E ) ) )
110109con3d 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( N  mod  E
)  .x.  x )  =  .0.  )  ->  ( -.  E  <_  ( N  mod  E )  ->  -.  ( N  mod  E
)  e.  NN ) )
111110ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0.  ->  ( -.  E  <_  ( N  mod  E )  ->  -.  ( N  mod  E
)  e.  NN ) ) )
112111ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  ( -.  E  <_ 
( N  mod  E
)  ->  -.  ( N  mod  E )  e.  NN ) ) )
113104, 112mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( N  mod  E )  .x.  x )  =  .0. 
->  -.  ( N  mod  E )  e.  NN ) )
114 elnn0 10573 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  mod  E )  e.  NN0  <->  ( ( N  mod  E )  e.  NN  \/  ( N  mod  E )  =  0 ) )
11599, 114sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( ( N  mod  E )  e.  NN  \/  ( N  mod  E )  =  0 ) )
116115ord 377 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( -.  ( N  mod  E )  e.  NN  ->  ( N  mod  E )  =  0 ) )
11795, 113, 1163syld 55 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  ( N  mod  E
)  =  0 ) )
118 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  E  e.  NN )
119 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
120 dvdsval3 13531 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  ( N  mod  E )  =  0 ) )
121118, 119, 120syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( E  ||  N 
<->  ( N  mod  E
)  =  0 ) )
122117, 121sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  E  ||  N ) )
12361, 122sylan2 474 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  /\  E  e.  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
)  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ->  E  ||  N
) )
124 eqid 2438 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  {
y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
1251, 3, 4, 2, 124gexlem1 16069 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x )  =  .0. 
}  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  } ) )
126125adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y  .x.  x )  =  .0.  }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y  .x.  x
)  =  .0.  }
) )
12760, 123, 126mpjaodan 784 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0. 
->  E  ||  N ) )
1288, 127impbid 191 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E  ||  N  <->  A. x  e.  X  ( N  .x.  x )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   RR+crp 10983   ...cfz 11429   |_cfl 11632    mod cmo 11700   abscabs 12715    || cdivides 13527   Basecbs 14166   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403   -gcsg 15405  .gcmg 15406  gExcgex 16020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-gex 16024
This theorem is referenced by:  gexdvds2  16075
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