MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl3 Structured version   Unicode version

Theorem gexcl3 16743
Description: If the order of every group element is bounded by  N, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexod.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexod.3  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
gexcl3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  NN )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, X
Allowed substitution hint:    O( x)

Proof of Theorem gexcl3
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  G  e.  Grp )
2 gexod.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
32grpbn0 16215 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
4 r19.2z 3847 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N
) )  ->  E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )
53, 4sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )
6 elfzuz2 11630 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7 nnuz 11054 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
86, 7syl6eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
98rexlimivw 2881 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1110nnnn0d 10787 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
12 faccl 12284 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
14 elfzuzb 11621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( ( O `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  ( O `  x ) ) ) )
15 elnnuz 11055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  x )  e.  NN  <->  ( O `  x )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
16 dvdsfac 14062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( O `  x ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N
) )
1715, 16sylanbr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( O `  x ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N )
)
1814, 17sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N
) )
1918adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N )
)
20 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  x  e.  X )
228adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
2322nnnn0d 10787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2423, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2524nnzd 10901 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
26 gexod.3 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
27 eqid 2392 . . . . . . . . 9  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
28 eqid 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
292, 26, 27, 28oddvds 16707 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  ( ! `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  ||  ( ! `  N )  <->  ( ( ! `  N
) (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3020, 21, 25, 29syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( O `  x )  ||  ( ! `  N
)  <->  ( ( ! `
 N ) (.g `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
3119, 30mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
3231ex 432 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ( ! `
 N ) (.g `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
3332ralimdva 2800 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  A. x  e.  X  ( ( ! `  N )
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433imp 427 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( ! `  N ) (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
35 gexod.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
362, 35, 27, 28gexlem2 16738 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ! `  N )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( ! `  N
) (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )  ->  E  e.  ( 1 ... ( ! `
 N ) ) )
371, 13, 34, 36syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  ( 1 ... ( ! `  N ) ) )
38 elfznn 11653 . 2  |-  ( E  e.  ( 1 ... ( ! `  N
) )  ->  E  e.  NN )
3937, 38syl 16 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   A.wral 2742   E.wrex 2743   (/)c0 3724   class class class wbr 4380   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   1c1 9422   NNcn 10470   NN0cn0 10730   ZZcz 10799   ZZ>=cuz 11019   ...cfz 11611   !cfa 12274    || cdvds 14007   Basecbs 14653   0gc0g 14866   Grpcgrp 16189  .gcmg 16192   odcod 16685  gExcgex 16686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-sup 7834  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-fz 11612  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-fac 12275  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-dvds 14008  df-0g 14868  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-grp 16193  df-minusg 16194  df-sbg 16195  df-mulg 16196  df-od 16689  df-gex 16690
This theorem is referenced by:  gexcl2  16745
  Copyright terms: Public domain W3C validator