MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl3 Structured version   Unicode version

Theorem gexcl3 16586
Description: If the order of every group element is bounded by  N, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexod.2  |-  E  =  (gEx `  G )
gexod.3  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
gexcl3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  NN )
Distinct variable groups:    x, E    x, G    x, N    x, X
Allowed substitution hint:    O( x)

Proof of Theorem gexcl3
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  G  e.  Grp )
2 gexod.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
32grpbn0 16058 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
4 r19.2z 3904 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N
) )  ->  E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )
53, 4sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )
6 elfzuz2 11702 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7 nnuz 11127 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
86, 7syl6eleqr 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
98rexlimivw 2932 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1110nnnn0d 10859 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
12 faccl 12345 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
14 elfzuzb 11693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( ( O `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  ( O `  x ) ) ) )
15 elnnuz 11128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  x )  e.  NN  <->  ( O `  x )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
16 dvdsfac 14023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( O `  x ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N
) )
1715, 16sylanbr 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( O `  x ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N )
)
1814, 17sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N
) )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ! `  N )
)
20 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  x  e.  X )
228adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
2322nnnn0d 10859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2423, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2524nnzd 10975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
26 gexod.3 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
27 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
28 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
292, 26, 27, 28oddvds 16550 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  ( ! `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  x )  ||  ( ! `  N )  <->  ( ( ! `  N
) (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3020, 21, 25, 29syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( O `  x )  ||  ( ! `  N
)  <->  ( ( ! `
 N ) (.g `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
3119, 30mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  /\  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
3231ex 434 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ( ! `
 N ) (.g `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
3332ralimdva 2851 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N )  ->  A. x  e.  X  ( ( ! `  N )
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433imp 429 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( ! `  N ) (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
35 gexod.2 . . . 4  |-  E  =  (gEx `  G )
362, 35, 27, 28gexlem2 16581 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ! `  N )  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
( ! `  N
) (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )  ->  E  e.  ( 1 ... ( ! `
 N ) ) )
371, 13, 34, 36syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  ( 1 ... ( ! `  N ) ) )
38 elfznn 11725 . 2  |-  ( E  e.  ( 1 ... ( ! `  N
) )  ->  E  e.  NN )
3937, 38syl 16 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496   NNcn 10543   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683   !cfa 12335    || cdvds 13968   Basecbs 14614   0gc0g 14819   Grpcgrp 16032  .gcmg 16035   odcod 16528  gExcgex 16529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-dvds 13969  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-od 16532  df-gex 16533
This theorem is referenced by:  gexcl2  16588
  Copyright terms: Public domain W3C validator