MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl2 Structured version   Unicode version

Theorem gexcl2 16587
Description: The exponent of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl2.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gexcl2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  E  e.  NN )

Proof of Theorem gexcl2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl2.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
31, 2odcl2 16565 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )
41, 2oddvds2 16566 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  ||  ( # `  X
) )
53nnzd 10974 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  ZZ )
61grpbn0 16057 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
763ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
8 hashnncl 12417 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
983ad2ant2 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
107, 9mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  ( # `
 X )  e.  NN )
11 dvdsle 14012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( od `  G ) `  x
)  e.  ZZ  /\  ( # `  X )  e.  NN )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  x )  ||  ( # `
 X )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  <_  ( # `  X
) ) )
125, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( # `  X
)  ->  ( ( od `  G ) `  x )  <_  ( # `
 X ) ) )
134, 12mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  <_  ( # `  X
) )
1410nnzd 10974 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  ( # `
 X )  e.  ZZ )
15 fznn 11757 . . . . . 6  |-  ( (
# `  X )  e.  ZZ  ->  ( (
( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) )  <-> 
( ( ( od
`  G ) `  x )  e.  NN  /\  ( ( od `  G ) `  x
)  <_  ( # `  X
) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) )  <->  ( (
( od `  G
) `  x )  e.  NN  /\  ( ( od `  G ) `
 x )  <_ 
( # `  X ) ) ) )
173, 13, 16mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  x  e.  X )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) ) )
18173expa 1197 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( od `  G ) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `  X ) ) )
1918ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  A. x  e.  X  ( ( od `  G ) `  x
)  e.  ( 1 ... ( # `  X
) ) )
20 gexcl2.2 . . 3  |-  E  =  (gEx `  G )
211, 20, 2gexcl3 16585 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( od `  G
) `  x )  e.  ( 1 ... ( # `
 X ) ) )  ->  E  e.  NN )
2219, 21syldan 470 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  E  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   1c1 9496    <_ cle 9632   NNcn 10543   ZZcz 10871   ...cfz 11682   #chash 12386    || cdvds 13967   Basecbs 14613   Grpcgrp 16031   odcod 16527  gExcgex 16528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-mod 11978  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-sum 13490  df-dvds 13968  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-eqg 16178  df-od 16531  df-gex 16532
This theorem is referenced by:  cyggexb  16879  pgpfac1lem3a  17105  pgpfaclem3  17112
  Copyright terms: Public domain W3C validator