MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl Structured version   Unicode version

Theorem gexcl 16473
Description: The exponent of a group is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gexcl  |-  ( G  e.  V  ->  E  e.  NN0 )

Proof of Theorem gexcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gexcl.2 . . . . 5  |-  E  =  (gEx `  G )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  (
y (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }
61, 2, 3, 4, 5gexlem1 16472 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  (
( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) } ) )
7 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( E  =  0  /\ 
{ y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) }  =  (/) )  ->  E  =  0 )
8 elrabi 3263 . . . . 5  |-  ( E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  ->  E  e.  NN )
97, 8orim12i 516 . . . 4  |-  ( ( ( E  =  0  /\  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  E  e.  { y  e.  NN  |  A. x  e.  X  ( y (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) } )  -> 
( E  =  0  \/  E  e.  NN ) )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( E  =  0  \/  E  e.  NN )
)
1110orcomd 388 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( E  e.  NN  \/  E  =  0 ) )
12 elnn0 10809 . 2  |-  ( E  e.  NN0  <->  ( E  e.  NN  \/  E  =  0 ) )
1311, 12sylibr 212 1  |-  ( G  e.  V  ->  E  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   (/)c0 3790   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   NNcn 10548   NN0cn0 10807   Basecbs 14507   0gc0g 14712  .gcmg 15928  gExcgex 16423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-gex 16427
This theorem is referenced by:  gexod  16479  cyggex2  16772
  Copyright terms: Public domain W3C validator