MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex1 Structured version   Unicode version

Theorem gex1 16738
Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl2.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gex1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( E  =  1  <->  X  ~~  1o ) )

Proof of Theorem gex1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  E  = 
1 )
21oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E
(.g `  G ) x )  =  ( 1 (.g `  G ) x ) )
3 gexcl2.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 gexcl2.2 . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
5 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
6 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
73, 4, 5, 6gexid 16728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  ( E (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
93, 5mulg1 16276 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 (.g `  G ) x )  =  x )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 1 (.g `  G ) x )  =  x )
112, 8, 103eqtr3rd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
12 elsn 4046 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
1311, 12sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } )
1413ex 434 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } ) )
1514ssrdv 3505 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  X  C_  { ( 0g `  G ) } )
163, 6mndidcl 16065 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
1817snssd 4177 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  { ( 0g
`  G ) } 
C_  X )
1915, 18eqssd 3516 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  X  =  {
( 0g `  G
) } )
20 fvex 5882 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2120ensn1 7598 . . 3  |-  { ( 0g `  G ) }  ~~  1o
2219, 21syl6eqbr 4493 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  X  ~~  1o )
23 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  G  e.  Mnd )
24 1nn 10567 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  -> 
1  e.  NN )
269adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 1 (.g `  G ) x )  =  x )
27 en1eqsn 7768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  X  ~~  1o )  ->  X  =  { ( 0g `  G ) } )
2816, 27sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  X  =  { ( 0g `  G ) } )
2928eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  -> 
( x  e.  X  <->  x  e.  { ( 0g
`  G ) } ) )
3029biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } )
3130, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
3226, 31eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 1 (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
3332ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  A. x  e.  X  ( 1 (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
343, 4, 5, 6gexlem2 16729 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  1  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
1 (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )  ->  E  e.  ( 1 ... 1 ) )
3523, 25, 33, 34syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  E  e.  ( 1 ... 1 ) )
36 elfz1eq 11722 . . 3  |-  ( E  e.  ( 1 ... 1 )  ->  E  =  1 )
3735, 36syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  E  =  1 )
3822, 37impbida 832 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( E  =  1  <->  X  ~~  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1oc1o 7141    ~~ cen 7532   1c1 9510   NNcn 10556   ...cfz 11697   Basecbs 14644   0gc0g 14857   Mndcmnd 16046  .gcmg 16183  gExcgex 16677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mulg 16187  df-gex 16681
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  17254  pgpfaclem3  17261
  Copyright terms: Public domain W3C validator