MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex1 Structured version   Unicode version

Theorem gex1 16090
Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gexcl2.2  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
gex1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( E  =  1  <->  X  ~~  1o ) )

Proof of Theorem gex1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  E  = 
1 )
21oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E
(.g `  G ) x )  =  ( 1 (.g `  G ) x ) )
3 gexcl2.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 gexcl2.2 . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
5 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
6 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
73, 4, 5, 6gexid 16080 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  ( E (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E
(.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
93, 5mulg1 15634 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 (.g `  G ) x )  =  x )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 1 (.g `  G ) x )  =  x )
112, 8, 103eqtr3rd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
12 elsn 3891 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
1311, 12sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } )
1413ex 434 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } ) )
1514ssrdv 3362 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  X  C_  { ( 0g `  G ) } )
163, 6mndidcl 15439 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
1817snssd 4018 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  { ( 0g
`  G ) } 
C_  X )
1915, 18eqssd 3373 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  X  =  {
( 0g `  G
) } )
20 fvex 5701 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
2120ensn1 7373 . . 3  |-  { ( 0g `  G ) }  ~~  1o
2219, 21syl6eqbr 4329 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  E  =  1 )  ->  X  ~~  1o )
23 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  G  e.  Mnd )
24 1nn 10333 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  -> 
1  e.  NN )
269adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 1 (.g `  G ) x )  =  x )
27 en1eqsn 7542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  X  ~~  1o )  ->  X  =  { ( 0g `  G ) } )
2816, 27sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  X  =  { ( 0g `  G ) } )
2928eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  -> 
( x  e.  X  <->  x  e.  { ( 0g
`  G ) } ) )
3029biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } )
3130, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
3226, 31eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 1 (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )
3332ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  A. x  e.  X  ( 1 (.g `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
343, 4, 5, 6gexlem2 16081 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  1  e.  NN  /\  A. x  e.  X  (
1 (.g `  G ) x )  =  ( 0g
`  G ) )  ->  E  e.  ( 1 ... 1 ) )
3523, 25, 33, 34syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  E  e.  ( 1 ... 1 ) )
36 elfz1eq 11462 . . 3  |-  ( E  e.  ( 1 ... 1 )  ->  E  =  1 )
3735, 36syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  ~~  1o )  ->  E  =  1 )
3822, 37impbida 828 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( E  =  1  <->  X  ~~  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {csn 3877   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1oc1o 6913    ~~ cen 7307   1c1 9283   NNcn 10322   ...cfz 11437   Basecbs 14174   0gc0g 14378   Mndcmnd 15409  .gcmg 15414  gExcgex 16029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-mulg 15548  df-gex 16033
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  16577  pgpfaclem3  16584
  Copyright terms: Public domain W3C validator