MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Unicode version

Theorem geoserg 13445
Description: The value of the finite geometric series  A ^ M  +  A ^ ( M  +  1 )  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoserg.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoserg.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
geoserg.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
geoserg  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11912 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 ax-1cn 9450 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
4 geoserg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 subcl 9719 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
74adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
8 geoserg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 elfzouz 11673 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluznn0 11034 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
127, 11expcld 12124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
132, 6, 12fsummulc1 13369 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A ) )  = 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
143a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
1512, 14, 7subdid 9910 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( ( A ^
k )  x.  1 )  -  ( ( A ^ k )  x.  A ) ) )
1612mulid1d 9513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  1 )  =  ( A ^ k ) )
177, 11expp1d 12125 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
1817eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  =  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 6217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  1 )  -  ( ( A ^
k )  x.  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2015, 19eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120sumeq2dv 13297 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
22 oveq2 6207 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
23 oveq2 6207 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
24 oveq2 6207 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
25 oveq2 6207 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
26 geoserg.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
274adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
28 elfzuz 11565 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
29 eluznn0 11034 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
j  e.  NN0 )
308, 28, 29syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  j  e.  NN0 )
3127, 30expcld 12124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
3222, 23, 24, 25, 26, 31fsumtscopo 13382 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) ) )
3313, 21, 323eqtrrd 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
344, 8expcld 12124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  CC )
35 eluznn0 11034 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
368, 26, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
374, 36expcld 12124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
3834, 37subcld 9829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
392, 12fsumcl 13327 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  e.  CC )
40 geoserg.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
4140necomd 2722 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  =/=  A )
42 subeq0 9745 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
433, 4, 42sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
4443necon3bid 2709 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
4541, 44mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
4638, 39, 6, 45divmul3d 10251 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  <->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
4733, 46mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k ) )
4847eqcomd 2462 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   CCcc 9390   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    - cmin 9705    / cdiv 10103   NN0cn0 10689   ZZ>=cuz 10971   ...cfz 11553  ..^cfzo 11664   ^cexp 11981   sum_csu 13280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281
This theorem is referenced by:  geoser  13446  rplogsumlem2  22866  rpvmasumlem  22868  dchrisum0flblem1  22889
  Copyright terms: Public domain W3C validator