MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Unicode version

Theorem geoserg 13829
Description: The value of the finite geometric series  A ^ M  +  A ^ ( M  +  1 )  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoserg.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoserg.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
geoserg.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
geoserg  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12125 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 ax-1cn 9580 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
4 geoserg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 subcl 9855 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
74adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
8 geoserg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 elfzouz 11863 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluznn0 11196 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
127, 11expcld 12354 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
132, 6, 12fsummulc1 13751 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A ) )  = 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
143a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
1512, 14, 7subdid 10053 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( ( A ^
k )  x.  1 )  -  ( ( A ^ k )  x.  A ) ) )
1612mulid1d 9643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  1 )  =  ( A ^ k ) )
177, 11expp1d 12355 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
1817eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  =  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  1 )  -  ( ( A ^
k )  x.  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2015, 19eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120sumeq2dv 13674 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
22 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
23 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
24 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
25 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
26 geoserg.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
274adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
28 elfzuz 11738 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
29 eluznn0 11196 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
j  e.  NN0 )
308, 28, 29syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  j  e.  NN0 )
3127, 30expcld 12354 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
3222, 23, 24, 25, 26, 31telfsumo 13767 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) ) )
3313, 21, 323eqtrrd 2448 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
344, 8expcld 12354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  CC )
35 eluznn0 11196 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
368, 26, 35syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
374, 36expcld 12354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
3834, 37subcld 9967 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
392, 12fsumcl 13704 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  e.  CC )
40 geoserg.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
4140necomd 2674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  =/=  A )
42 subeq0 9881 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
433, 4, 42sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
4443necon3bid 2661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
4541, 44mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
4638, 39, 6, 45divmul3d 10395 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  <->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
4733, 46mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k ) )
4847eqcomd 2410 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527    - cmin 9841    / cdiv 10247   NN0cn0 10836   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726  ..^cfzo 11854   ^cexp 12210   sum_csu 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658
This theorem is referenced by:  geoser  13830  rplogsumlem2  24051  rpvmasumlem  24053  dchrisum0flblem1  24074
  Copyright terms: Public domain W3C validator