Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  georeclim Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem georeclim 13928
 Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1
georeclim.2
georeclim.3
Assertion
Ref Expression
georeclim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4
2 georeclim.2 . . . . 5
3 0le1 10137 . . . . . . . 8
4 0re 9643 . . . . . . . . 9
5 1re 9642 . . . . . . . . 9
64, 5lenlti 9754 . . . . . . . 8
73, 6mpbi 212 . . . . . . 7
8 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
9 abs0 13348 . . . . . . . . 9
108, 9syl6eq 2501 . . . . . . . 8
1110breq2d 4414 . . . . . . 7
127, 11mtbiri 305 . . . . . 6
1312necon2ai 2653 . . . . 5
142, 13syl 17 . . . 4
151, 14reccld 10376 . . 3
16 1cnd 9659 . . . . . 6
1716, 1, 14absdivd 13517 . . . . 5
18 abs1 13360 . . . . . 6
1918oveq1i 6300 . . . . 5
2017, 19syl6eq 2501 . . . 4
211, 14absrpcld 13510 . . . . . 6
2221recgt1d 11355 . . . . 5
232, 22mpbid 214 . . . 4
2420, 23eqbrtrd 4423 . . 3
25 georeclim.3 . . 3
2615, 24, 25geolim 13926 . 2
271, 16, 1, 14divsubdird 10422 . . . . 5
281, 14dividd 10381 . . . . . 6
2928oveq1d 6305 . . . . 5
3027, 29eqtrd 2485 . . . 4
3130oveq2d 6306 . . 3
32 ax-1cn 9597 . . . . 5
33 subcl 9874 . . . . 5
341, 32, 33sylancl 668 . . . 4
355ltnri 9743 . . . . . . . 8
36 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10
3736, 18syl6eq 2501 . . . . . . . . 9
3837breq2d 4414 . . . . . . . 8
3935, 38mtbiri 305 . . . . . . 7
4039necon2ai 2653 . . . . . 6
412, 40syl 17 . . . . 5
42 subeq0 9900 . . . . . . 7
431, 32, 42sylancl 668 . . . . . 6
4443necon3bid 2668 . . . . 5
4541, 44mpbird 236 . . . 4
4634, 1, 45, 14recdivd 10400 . . 3
4731, 46eqtr3d 2487 . 2
4826, 47breqtrd 4427 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  cn0 10869   cseq 12213  cexp 12272  cabs 13297   cli 13548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753 This theorem is referenced by:  geoisumr  13934  ege2le3  14144  eftlub  14163
 Copyright terms: Public domain W3C validator