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Theorem geomulcvg 12608
Description: The geometric series converges even if it is multiplied by 
k to result in the larger series  k  x.  A ^
k. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
geomulcvg.1  |-  F  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k ) ) )
Assertion
Ref Expression
geomulcvg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    F( k)

Proof of Theorem geomulcvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geomulcvg.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k ) ) )
2 elnn0 10179 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  NN  \/  k  =  0 ) )
3 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  A  = 
0 )
43oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  ( A ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
5 0exp 11370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
0 ^ k )  =  0 )
64, 5sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  =  0 )
76oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( k  x.  0 ) )
8 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
98adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
109mul01d 9221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
117, 10eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
12 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
k  =  0 )
1312oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( A ^ k
) ) )
14 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  ->  A  e.  CC )
15 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
1612, 15syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
k  e.  NN0 )
1714, 16expcld 11478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
1817mul02d 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( 0  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
1913, 18eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
2011, 19jaodan 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  (
k  e.  NN  \/  k  =  0 ) )  ->  ( k  x.  ( A ^ k
) )  =  0 )
212, 20sylan2b 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
2221mpteq2dva 4255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  0 ) )
231, 22syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  F  =  ( k  e.  NN0  |->  0 ) )
24 fconstmpt 4880 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN0  |->  0 )
25 nn0uz 10476 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2625xpeq1i 4857 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  0 )  X. 
{ 0 } )
2724, 26eqtr3i 2426 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
0 )  X.  {
0 } )
2823, 27syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  F  =  ( ( ZZ>= `  0
)  X.  { 0 } ) )
2928seqeq3d 11286 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  =  seq  0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) ) )
30 0z 10249 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
31 serclim0 12326 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  seq  0 (  +  , 
( ( ZZ>= `  0
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
3230, 31ax-mp 8 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
3329, 32syl6eqbr 4209 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  ~~>  0 )
34 seqex 11280 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  _V
35 c0ex 9041 . . . 4  |-  0  e.  _V
3634, 35breldm 5033 . . 3  |-  (  seq  0 (  +  ,  F )  ~~>  0  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3733, 36syl 16 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
38 1re 9046 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  e.  RR )
40 abscl 12038 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
42 peano2re 9195 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
4443rehalfcld 10170 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
4544adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
46 absrpcl 12048 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
4746adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
4845, 47rerpdivcld 10631 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) )  e.  RR )
4941recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
5049mulid2d 9062 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
51 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
52 avglt1 10161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( abs `  A )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ) )
5341, 38, 52sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( abs `  A )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ) )
5451, 53mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
5550, 54eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  <  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) )
5655adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( 1  x.  ( abs `  A
) )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
5739, 45, 47ltmuldivd 10647 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
1  x.  ( abs `  A ) )  < 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  <->  1  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ) )
5856, 57mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  <  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) )
59 expmulnbnd 11466 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  1  <  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
6039, 48, 58, 59syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
61 eluznn0 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN0 )
62 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6362adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
6463mulid2d 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  k )  =  k )
6544recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
6665ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
6749ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
6847adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
6968rpne0d 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
70 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
7166, 67, 69, 70expdivd 11492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
7264, 71breq12d 4185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  k  <  (
( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
73 nn0re 10186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
7473adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
75 reexpcl 11353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
7645, 75sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
7741adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
78 reexpcl 11353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ k )  e.  RR )
7977, 78sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR )
8077adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
81 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
8368rpgt0d 10607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( abs `  A
) )
84 expgt0 11368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  A
) )  ->  0  <  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
8580, 82, 83, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
86 ltmuldiv 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  A ) ^ k
) ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  k  <  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
8774, 76, 79, 85, 86syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  k  <  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
8872, 87bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
8961, 88sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  (
n  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )  ->  ( ( 1  x.  k )  < 
( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
9089anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
9190ralbidva 2682 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
92 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
93 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ m
) )
94 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) )
95 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  _V
9693, 94, 95fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
9796adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
9844ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  e.  RR )
99 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
10098, 99reexpcld 11495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  RR )
10197, 100eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  e.  RR )
102 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  k  =  m )
103 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A ^ k )  =  ( A ^ m
) )
104102, 103oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( m  x.  ( A ^ m
) ) )
105 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  x.  ( A ^
m ) )  e. 
_V
106104, 1, 105fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( F `
 m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
107106adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
108 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
109108adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
110 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  A  e.  CC )
111 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  CC )
112110, 111sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
113109, 112mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  x.  ( A ^ m
) )  e.  CC )
114107, 113eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
115 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  e.  RR )
117 absge0 12047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
118117adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
119116, 41, 44, 118, 54lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
120116, 44, 119ltled 9177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
12144, 120absidd 12180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) )
122 avglt2 10162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  <  1 ) )
12341, 38, 122sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  <  1 ) )
12451, 123mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  <  1 )
125121, 124eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )  <  1 )
126 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ n
) )
127 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
n )  e.  _V
128126, 94, 127fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ n ) )
129128adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ n ) )
13065, 125, 129geolim 12602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
131 seqex 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  e.  _V
132 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) )  e.  _V
133131, 132breldm 5033 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
134130, 133syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
135134adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
13638a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  1  e.  RR )
137 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  NN0 )
13892, 137sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  NN0 )
139138nn0red 10231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  RR )
140 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  A  e.  CC )
141140abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
142141, 138reexpcld 11495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^ m
)  e.  RR )
143139, 142remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  e.  RR )
144138, 100syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  RR )
145 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) )
146 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  =  ( ( abs `  A ) ^ m
) )
147102, 146oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) ) )
148147, 93breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) ) )
149148rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
150145, 149sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
151143, 144, 150ltled 9177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
152138nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  CC )
153140, 138expcld 11478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
154152, 153absmuld 12211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  m )  x.  ( abs `  ( A ^ m ) ) ) )
155138nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  0  <_  m
)
156139, 155absidd 12180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  m
)  =  m )
157140, 138absexpd 12209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( A ^ m ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ m
) )
158156, 157oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  m )  x.  ( abs `  ( A ^
m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) ) )
159154, 158eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A ) ^ m
) ) )
160144recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  CC )
161160mulid2d 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
162151, 159, 1613brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) ) )
163138, 106syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
164163fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( F `  m )
)  =  ( abs `  ( m  x.  ( A ^ m ) ) ) )
165138, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
166165oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m ) )  =  ( 1  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) ) )
167162, 164, 1663brtr4d 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( F `  m )
)  <_  ( 1  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m ) ) )
16825, 92, 101, 114, 135, 136, 167cvgcmpce 12552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
169168expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
170169adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
17191, 170sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
172171rexlimdva 2790 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
17360, 172mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
17437, 173pm2.61dane 2645 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  20282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
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