Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  geomcau Unicode version

Theorem geomcau 26355
 Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2
lmclim2.3
geomcau.4
geomcau.5
geomcau.6
geomcau.7
Assertion
Ref Expression
geomcau
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . . 6
2 1z 10267 . . . . . . 7
32a1i 11 . . . . . 6
4 geomcau.5 . . . . . . . 8
54rpcnd 10606 . . . . . . 7
64rpred 10604 . . . . . . . . 9
74rpge0d 10608 . . . . . . . . 9
86, 7absidd 12180 . . . . . . . 8
9 geomcau.6 . . . . . . . 8
108, 9eqbrtrd 4192 . . . . . . 7
115, 10expcnv 12598 . . . . . 6
12 geomcau.4 . . . . . . . 8
13 1re 9046 . . . . . . . . . 10
14 resubcl 9321 . . . . . . . . . 10
1513, 6, 14sylancr 645 . . . . . . . . 9
16 posdif 9477 . . . . . . . . . . 11
176, 13, 16sylancl 644 . . . . . . . . . 10
189, 17mpbid 202 . . . . . . . . 9
1915, 18elrpd 10602 . . . . . . . 8
2012, 19rerpdivcld 10631 . . . . . . 7
2120recnd 9070 . . . . . 6
22 nnex 9962 . . . . . . . 8
2322mptex 5925 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
25 nnnn0 10184 . . . . . . . . 9
2625adantl 453 . . . . . . . 8
27 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
28 eqid 2404 . . . . . . . . 9
29 ovex 6065 . . . . . . . . 9
3027, 28, 29fvmpt 5765 . . . . . . . 8
3126, 30syl 16 . . . . . . 7
32 nnz 10259 . . . . . . . . 9
33 rpexpcl 11355 . . . . . . . . 9
344, 32, 33syl2an 464 . . . . . . . 8
3534rpcnd 10606 . . . . . . 7
3631, 35eqeltrd 2478 . . . . . 6
3721adantr 452 . . . . . . . 8
3835, 37mulcomd 9065 . . . . . . 7
3927oveq1d 6055 . . . . . . . . 9
40 eqid 2404 . . . . . . . . 9
41 ovex 6065 . . . . . . . . 9
4239, 40, 41fvmpt 5765 . . . . . . . 8
4342adantl 453 . . . . . . 7
4431oveq2d 6056 . . . . . . 7
4538, 43, 443eqtr4d 2446 . . . . . 6
461, 3, 11, 21, 24, 36, 45climmulc2 12385 . . . . 5
4721mul01d 9221 . . . . 5
4846, 47breqtrd 4196 . . . 4
4934rpred 10604 . . . . . . 7
5020adantr 452 . . . . . . 7
5149, 50remulcld 9072 . . . . . 6
5251recnd 9070 . . . . 5
531, 3, 24, 43, 52clim0c 12256 . . . 4
5448, 53mpbid 202 . . 3
55 nnz 10259 . . . . . . . 8
5655adantl 453 . . . . . . 7
57 uzid 10456 . . . . . . 7
58 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11
5958oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10
6059fveq2d 5691 . . . . . . . . 9
6160breq1d 4182 . . . . . . . 8
6261rspcv 3008 . . . . . . 7
6356, 57, 623syl 19 . . . . . 6
64 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
66 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13
67 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13
68 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . 13
6966, 67, 68syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
701uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . 13
71 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . 13
7266, 70, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
73 metcl 18315 . . . . . . . . . . . 12
7465, 69, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
75 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13
76 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14
7877nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . 13
79 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15
8380, 81, 82fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
8512ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
866ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8877, 87sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8986, 88reexpcld 11495 . . . . . . . . . . . . . . 15
9085, 89remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . 14
9190recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13
9212recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
945adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9510adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9879, 96, 97fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10094, 95, 77, 99geolim2 12603 . . . . . . . . . . . . . . 15
10189recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10299, 101eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15
10399oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10484, 103eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15
10575, 78, 93, 100, 102, 104isermulc2 12406 . . . . . . . . . . . . . 14
1064adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106, 78rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . 15
10915recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
11119rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
11393, 108, 110, 112div12d 9782 . . . . . . . . . . . . . 14
114105, 113breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . 13
11575, 78, 84, 91, 114isumclim 12496 . . . . . . . . . . . 12
116 seqex 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15
118116, 117breldm 5033 . . . . . . . . . . . . . 14
119105, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
12075, 78, 84, 90, 119isumrecl 12504 . . . . . . . . . . . 12
121115, 120eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11
122121recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
123122abscld 12193 . . . . . . . . . . 11
124 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . 14
125 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1281uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130126, 129sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
13164adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13266ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13566, 133, 134syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 metcl 18315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137131, 132, 135, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
138125, 130, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
139124, 138fsumrecl 12483 . . . . . . . . . . . . 13
140 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14
141 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . 15
142 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143142, 129, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
144141, 143sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14
14565, 140, 144mettrifi 26353 . . . . . . . . . . . . 13
146126, 90sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
147124, 146fsumrecl 12483 . . . . . . . . . . . . . 14
148 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149125, 130, 148syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
150124, 138, 146, 149fsumle 12533 . . . . . . . . . . . . . 14
151 fzssuz 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
155 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
156 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1574, 155, 156syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158137, 157rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15912adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160 metge0 18328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161131, 132, 135, 160syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162137, 157, 161divge0d 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163137, 159, 157ledivmul2d 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
164148, 163mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165154, 158, 159, 162, 164letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166142, 129, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167142, 129, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
168167rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16985, 89, 166, 168mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . . . . 15
17075, 78, 124, 152, 84, 90, 169, 119isumless 12580 . . . . . . . . . . . . . 14
171139, 147, 120, 150, 170letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13
17274, 139, 120, 145, 171letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12
173172, 115breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11
174121leabsd 12172 . . . . . . . . . . 11
17574, 121, 123, 173, 174letrd 9183 . . . . . . . . . 10
176175adantlr 696 . . . . . . . . 9
17774adantlr 696 . . . . . . . . . 10
178123adantlr 696 . . . . . . . . . 10
179 rpre 10574 . . . . . . . . . . 11
180179ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10
181 lelttr 9121 . . . . . . . . . 10
182177, 178, 180, 181syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
183176, 182mpand 657 . . . . . . . 8
184183anassrs 630 . . . . . . 7
185184ralrimdva 2756 . . . . . 6
18663, 185syld 42 . . . . 5
187186reximdva 2778 . . . 4
188187ralimdva 2744 . . 3
18954, 188mpd 15 . 2
190 metxmet 18317 . . . 4
19164, 190syl 16 . . 3
192 eqidd 2405 . . 3
193 eqidd 2405 . . 3
1941, 191, 3, 192, 193, 66iscauf 19186 . 2
195189, 194mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   wss 3280   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247   cdiv 9633  cn 9956  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  crp 10568  cfz 10999   cseq 11278  cexp 11337  cabs 11994   cli 12233  csu 12434  cxmt 16641  cme 16642  cca 19159 This theorem is referenced by:  bfplem1  26421 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-cau 19162
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