Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim2 Unicode version

Theorem geolim2 12603
 Description: The partial sums in the geometric series ... converge to . (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1
geolim.2
geolim2.3
geolim2.4
Assertion
Ref Expression
geolim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem geolim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3
2 geolim2.3 . . . 4
32nn0zd 10329 . . 3
4 geolim2.4 . . 3
5 geolim.1 . . . . 5
65adantr 452 . . . 4
7 eluznn0 10502 . . . . 5
82, 7sylan 458 . . . 4
96, 8expcld 11478 . . 3
10 oveq2 6048 . . . . . . . 8
11 eqid 2404 . . . . . . . 8
12 ovex 6065 . . . . . . . 8
1310, 11, 12fvmpt 5765 . . . . . . 7
148, 13syl 16 . . . . . 6
1514, 4eqtr4d 2439 . . . . 5
163, 15seqfeq 11303 . . . 4
17 geolim.2 . . . . . . 7
18 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
19 ovex 6065 . . . . . . . . 9
2018, 11, 19fvmpt 5765 . . . . . . . 8
2120adantl 453 . . . . . . 7
225, 17, 21geolim 12602 . . . . . 6
23 seqex 11280 . . . . . . 7
24 ovex 6065 . . . . . . 7
2523, 24breldm 5033 . . . . . 6
2622, 25syl 16 . . . . 5
27 nn0uz 10476 . . . . . 6
28 expcl 11354 . . . . . . . 8
295, 28sylan 458 . . . . . . 7
3021, 29eqeltrd 2478 . . . . . 6
3127, 2, 30iserex 12405 . . . . 5
3226, 31mpbid 202 . . . 4
3316, 32eqeltrrd 2479 . . 3
341, 3, 4, 9, 33isumclim2 12497 . 2
3513adantl 453 . . . . . . 7
36 expcl 11354 . . . . . . . 8
375, 36sylan 458 . . . . . . 7
3827, 1, 2, 35, 37, 26isumsplit 12575 . . . . . 6
39 0z 10249 . . . . . . . 8
4039a1i 11 . . . . . . 7
4127, 40, 35, 37, 22isumclim 12496 . . . . . 6
4238, 41eqtr3d 2438 . . . . 5
43 1re 9046 . . . . . . . . . . 11
4443ltnri 9138 . . . . . . . . . 10
45 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
46 abs1 12057 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11
4847breq1d 4182 . . . . . . . . . 10
4944, 48mtbiri 295 . . . . . . . . 9
5049necon2ai 2612 . . . . . . . 8
5117, 50syl 16 . . . . . . 7
525, 51, 2geoser 12601 . . . . . 6
5352oveq1d 6055 . . . . 5
5442, 53eqtr3d 2438 . . . 4
5554oveq1d 6055 . . 3
56 ax-1cn 9004 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
585, 2expcld 11478 . . . . . 6
59 subcl 9261 . . . . . 6
6056, 58, 59sylancr 645 . . . . 5
61 subcl 9261 . . . . . 6
6256, 5, 61sylancr 645 . . . . 5
6351necomd 2650 . . . . . 6
64 subeq0 9283 . . . . . . . 8
6556, 5, 64sylancr 645 . . . . . . 7
6665necon3bid 2602 . . . . . 6
6763, 66mpbird 224 . . . . 5
6857, 60, 62, 67divsubdird 9785 . . . 4
69 nncan 9286 . . . . . 6
7056, 58, 69sylancr 645 . . . . 5
7170oveq1d 6055 . . . 4
7268, 71eqtr3d 2438 . . 3
7360, 62, 67divcld 9746 . . . 4
741, 3, 14, 9, 32isumcl 12500 . . . 4
7573, 74pncan2d 9369 . . 3
7655, 72, 753eqtr3rd 2445 . 2
7734, 76breqtrd 4196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   clt 9076   cmin 9247   cdiv 9633  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  cfz 10999   cseq 11278  cexp 11337  cabs 11994   cli 12233  csu 12434 This theorem is referenced by:  geoisum1  12611  geoisum1c  12612  rpnnen2lem3  12771  rpnnen2lem9  12777  abelthlem7  20307  log2tlbnd  20738  geomcau  26355  stirlinglem10  27699 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
 Copyright terms: Public domain W3C validator