Theorem geolim1i 8500

Description: The partial sums in the geometric series A^1 + A^2... converge to (A / (1 - A)).

Hypotheses

Ref	Expression
geolim1i.1	|- F = {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}
geolim1i.2	|- A e. CC
geolim1i.3	|- (abs` A) < 1

Assertion

Ref	Expression
geolim1i	|- ( + seq1 F) ~~> (A / (1 - A))

Distinct variable group:   y,k,A

Proof of Theorem geolim1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 7355	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		uzid 7596	. . . 4 |- (0 e. ZZ -> 0 e. (ZZ>=` 0))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- 0 e. (ZZ>=` 0)
4		nn0ex 7314	. . . . 5 |- NN0 e. _V
5	4	opabex2 4539	. . . 4 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} e. _V
6		oprex 4907	. . . 4 |- (1 / (1 - A)) e. _V
7		addex 6470	. . . . . 6 |- + e. _V
8	7, 5	seq0seqz 7785	. . . . 5 |- ( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}) = (<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})
9		eqid 1884	. . . . . 6 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} = {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}
10		geolim1i.2	. . . . . 6 |- A e. CC
11		geolim1i.3	. . . . . 6 |- (abs` A) < 1
12	9, 10, 11	geolimi 8498	. . . . 5 |- ( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}) ~~> (1 / (1 - A))
13	8, 12	eqbrtrri 3358	. . . 4 |- (<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}) ~~> (1 / (1 - A))
14		expcl 7824	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
15	10, 14	mpan 759	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. CC)
16	9, 15	fopab 4800	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}:NN0-->CC
17		nn0uz 7607	. . . . . 6 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
18	17	feq2i 4559	. . . . 5 |- ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}:NN0-->CC <-> {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}:(ZZ>=` 0)-->CC)
19	16, 18	mpbi 206	. . . 4 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}:(ZZ>=` 0)-->CC
20	5, 6, 13, 19	clim2serzi 8405	. . 3 |- (0 e. (ZZ>=` 0) -> (<.(0 + 1), + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}) ~~> ((1 / (1 - A)) - ((<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})` 0)))
21	3, 20	ax-mp 7	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}) ~~> ((1 / (1 - A)) - ((<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})` 0))
22		geolim1i.1	. . . . . 6 |- F = {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}
23		nnssnn0 7311	. . . . . . 7 |- NN C_ NN0
24		resopab2 4256	. . . . . . 7 |- (NN C_ NN0 -> ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` NN) = {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))})
25	23, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` NN) = {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}
26		nnuz 7608	. . . . . . 7 |- NN = (ZZ>=` 1)
27		reseq2 4219	. . . . . . 7 |- (NN = (ZZ>=` 1) -> ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` NN) = ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` (ZZ>=` 1)))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` NN) = ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` (ZZ>=` 1))
29	22, 25, 28	3eqtr2i 1915	. . . . 5 |- F = ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` (ZZ>=` 1))
30	29	opreq2i 4893	. . . 4 |- (<.1, + >. seq F) = (<.1, + >. seq ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` (ZZ>=` 1)))
31		1z 7368	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
32	7, 5	seqzres 7803	. . . . 5 |- (1 e. ZZ -> (<.1, + >. seq ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` (ZZ>=` 1))) = (<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}))
33	31, 32	ax-mp 7	. . . 4 |- (<.1, + >. seq ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))} |` (ZZ>=` 1))) = (<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})
34	30, 33	eqtri 1908	. . 3 |- (<.1, + >. seq F) = (<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})
35		nnex 7116	. . . . 5 |- NN e. _V
36	35, 22	fopabex2 4541	. . . 4 |- F e. _V
37	7, 36	seq1seqz 7784	. . 3 |- ( + seq1 F) = (<.1, + >. seq F)
38		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
39	38	addid2i 6484	. . . . 5 |- (0 + 1) = 1
40	39	opeq1i 3161	. . . 4 |- <.(0 + 1), + >. = <.1, + >.
41	40	opreq1i 4892	. . 3 |- (<.(0 + 1), + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}) = (<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})
42	34, 37, 41	3eqtr4i 1921	. 2 |- ( + seq1 F) = (<.(0 + 1), + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})
43	38, 10	subcli 6523	. . . . 5 |- (1 - A) e. CC
44		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
45		abssubne0 8134	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ 1 e. RR /\ (abs` A) < 1) -> (1 - A) =/= 0)
46	10, 44, 11, 45	mp3an 1191	. . . . . 6 |- (1 - A) =/= 0
47	43, 46	pm3.2i 307	. . . . 5 |- ((1 - A) e. CC /\ (1 - A) =/= 0)
48		divsubdir 6951	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ (1 - A) e. CC /\ ((1 - A) e. CC /\ (1 - A) =/= 0)) -> ((1 - (1 - A)) / (1 - A)) = ((1 / (1 - A)) - ((1 - A) / (1 - A))))
49	38, 43, 47, 48	mp3an 1191	. . . 4 |- ((1 - (1 - A)) / (1 - A)) = ((1 / (1 - A)) - ((1 - A) / (1 - A)))
50		nncan 6635	. . . . . 6 |- ((1 e. CC /\ A e. CC) -> (1 - (1 - A)) = A)
51	38, 10, 50	mp2an 761	. . . . 5 |- (1 - (1 - A)) = A
52	51	opreq1i 4892	. . . 4 |- ((1 - (1 - A)) / (1 - A)) = (A / (1 - A))
53	43, 46	dividi 6946	. . . . 5 |- ((1 - A) / (1 - A)) = 1
54	53	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((1 / (1 - A)) - ((1 - A) / (1 - A))) = ((1 / (1 - A)) - 1)
55	49, 52, 54	3eqtr3i 1918	. . 3 |- (A / (1 - A)) = ((1 / (1 - A)) - 1)
56	7, 5	seqz1 7790	. . . . . 6 |- (0 e. ZZ -> ((<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})` 0) = ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}` 0))
57	1, 56	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})` 0) = ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}` 0)
58		0nn0 7322	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
59		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (k = 0 -> (A^k) = (A^0))
60		oprex 4907	. . . . . . 7 |- (A^0) e. _V
61	59, 9, 60	fvopab4 4743	. . . . . 6 |- (0 e. NN0 -> ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}` 0) = (A^0))
62	58, 61	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))}` 0) = (A^0)
63		exp0 7814	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
64	10, 63	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A^0) = 1
65	57, 62, 64	3eqtri 1912	. . . 4 |- ((<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})` 0) = 1
66	65	opreq2i 4893	. . 3 |- ((1 / (1 - A)) - ((<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})` 0)) = ((1 / (1 - A)) - 1)
67	55, 66	eqtr4i 1911	. 2 |- (A / (1 - A)) = ((1 / (1 - A)) - ((<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (A^k))})` 0))
68	21, 42, 67	3brtr4i 3365	1 |- ( + seq1 F) ~~> (A / (1 - A))

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395   |` cres 3988  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586   seq1 cseq1 7720   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775  ^cexp 7811  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  geolim1 8501  erelem2 8582  cntrsetlem 14999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain