MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisumr Structured version   Unicode version

Theorem geoisumr 13837
Description: The infinite sum of reciprocals  1  +  ( 1  /  A ) ^ 1  +  ( 1  /  A ) ^ 2... is  A  / 
( A  -  1 ). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisumr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisumr
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11160 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10916 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  ZZ )
3 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ n )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
5 ovex 6305 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e. 
_V
63, 4, 5fvmpt 5931 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
76adantl 464 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
8 0le1 10115 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
9 0re 9625 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
10 1re 9624 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
119, 10lenlti 9735 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  -.  1  <  0 )
128, 11mpbi 208 . . . . . 6  |-  -.  1  <  0
13 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
14 abs0 13265 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
1615breq2d 4406 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
1  <  ( abs `  A )  <->  1  <  0 ) )
1712, 16mtbiri 301 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  -.  1  <  ( abs `  A
) )
1817necon2ai 2638 . . . 4  |-  ( 1  <  ( abs `  A
)  ->  A  =/=  0 )
19 reccl 10254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
2018, 19sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
21 expcl 12226 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
2220, 21sylan 469 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
23 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
24 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  1  <  ( abs `  A
) )
2523, 24, 7georeclim 13831 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n
) ) )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
261, 2, 7, 22, 25isumclim 13721 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840    / cdiv 10246   NN0cn0 10835   ^cexp 12208   abscabs 13214   sum_csu 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator