MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisumr Structured version   Unicode version

Theorem geoisumr 13337
Description: The infinite sum of reciprocals  1  +  ( 1  /  A ) ^ 1  +  ( 1  /  A ) ^ 2... is  A  / 
( A  -  1 ). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisumr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisumr
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10894 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10657 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  ZZ )
3 oveq2 6098 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ n )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
4 eqid 2442 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
5 ovex 6115 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e. 
_V
63, 4, 5fvmpt 5773 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
8 0le1 9862 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
9 0re 9385 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
10 1re 9384 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
119, 10lenlti 9493 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  -.  1  <  0 )
128, 11mpbi 208 . . . . . 6  |-  -.  1  <  0
13 fveq2 5690 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
14 abs0 12773 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
1615breq2d 4303 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
1  <  ( abs `  A )  <->  1  <  0 ) )
1712, 16mtbiri 303 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  -.  1  <  ( abs `  A
) )
1817necon2ai 2655 . . . 4  |-  ( 1  <  ( abs `  A
)  ->  A  =/=  0 )
19 reccl 10000 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
2018, 19sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
21 expcl 11882 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
2220, 21sylan 471 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
23 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
24 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  1  <  ( abs `  A
) )
2523, 24, 7georeclim 13331 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n
) ) )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
261, 2, 7, 22, 25isumclim 13223 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   0cc0 9281   1c1 9282    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594    / cdiv 9992   NN0cn0 10578   ^cexp 11864   abscabs 12722   sum_csu 13162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator