MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisumr Structured version   Unicode version

Theorem geoisumr 13641
Description: The infinite sum of reciprocals  1  +  ( 1  /  A ) ^ 1  +  ( 1  /  A ) ^ 2... is  A  / 
( A  -  1 ). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisumr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisumr
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11107 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10867 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  ZZ )
3 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ n )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
4 eqid 2462 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
5 ovex 6302 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e. 
_V
63, 4, 5fvmpt 5943 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
8 0le1 10067 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
9 0re 9587 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
10 1re 9586 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
119, 10lenlti 9695 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  -.  1  <  0 )
128, 11mpbi 208 . . . . . 6  |-  -.  1  <  0
13 fveq2 5859 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
14 abs0 13070 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2519 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
1615breq2d 4454 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
1  <  ( abs `  A )  <->  1  <  0 ) )
1712, 16mtbiri 303 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  -.  1  <  ( abs `  A
) )
1817necon2ai 2697 . . . 4  |-  ( 1  <  ( abs `  A
)  ->  A  =/=  0 )
19 reccl 10205 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
2018, 19sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
21 expcl 12142 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
2220, 21sylan 471 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
23 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
24 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  1  <  ( abs `  A
) )
2523, 24, 7georeclim 13635 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n
) ) )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
261, 2, 7, 22, 25isumclim 13523 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483   1c1 9484    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796    / cdiv 10197   NN0cn0 10786   ^cexp 12124   abscabs 13019   sum_csu 13459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator