MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisumr Structured version   Unicode version

Theorem geoisumr 13933
Description: The infinite sum of reciprocals  1  +  ( 1  /  A ) ^ 1  +  ( 1  /  A ) ^ 2... is  A  / 
( A  -  1 ). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisumr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisumr
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11200 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10956 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  ZZ )
3 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ n )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
4 eqid 2422 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
5 ovex 6333 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e. 
_V
63, 4, 5fvmpt 5964 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
76adantl 467 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
8 0le1 10144 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
9 0re 9650 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
10 1re 9649 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
119, 10lenlti 9761 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  -.  1  <  0 )
128, 11mpbi 211 . . . . . 6  |-  -.  1  <  0
13 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
14 abs0 13348 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
1615breq2d 4435 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
1  <  ( abs `  A )  <->  1  <  0 ) )
1712, 16mtbiri 304 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  -.  1  <  ( abs `  A
) )
1817necon2ai 2655 . . . 4  |-  ( 1  <  ( abs `  A
)  ->  A  =/=  0 )
19 reccl 10284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
2018, 19sylan2 476 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
21 expcl 12296 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
2220, 21sylan 473 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
23 simpl 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
24 simpr 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  1  <  ( abs `  A
) )
2523, 24, 7georeclim 13927 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n
) ) )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
261, 2, 7, 22, 25isumclim 13817 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   0cc0 9546   1c1 9547    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   NN0cn0 10876   ^cexp 12278   abscabs 13297   sum_csu 13751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator