MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem geoihalfsum 13931
Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 13928. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 13930 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 10677 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3 2ne0 10699 . . . . 5  |-  2  =/=  0
43a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
5 nnz 10956 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
62, 4, 5exprecd 12421 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
76sumeq2i 13758 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( 2 ^ k ) )
8 halfcn 10826 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9 halfre 10825 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
10 0le1 10134 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
11 1re 9639 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
12 2re 10676 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
13 2pos 10698 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
14 ge0div 10469 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1511, 12, 13, 14mp3an 1363 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
1610, 15mpbi 212 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
17 absid 13352 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
189, 16, 17mp2an 677 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
19 halflt1 10828 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
2018, 19eqbrtri 4421 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
21 geoisum1 13928 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  /  2 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) ) )
228, 20, 21mp2an 677 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  ( ( 1  /  2
)  /  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) ) )
23 1mhlfehlf 10829 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
2423oveq2i 6299 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )
25 ax-1cn 9594 . . . . 5  |-  1  e.  CC
26 ax-1ne0 9605 . . . . 5  |-  1  =/=  0
2725, 1, 26, 3divne0i 10352 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
288, 27dividi 10337 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2922, 24, 283eqtri 2476 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  1
307, 29eqtr3i 2474 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   ^cexp 12269   abscabs 13290   sum_csu 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746
This theorem is referenced by:  omssubadd  29121  omssubaddOLD  29125
  Copyright terms: Public domain W3C validator