MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum Structured version   Unicode version

Theorem geoihalfsum 13347
Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 13344. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 13346 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 10397 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3 2ne0 10419 . . . . 5  |-  2  =/=  0
43a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
5 nnz 10673 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
62, 4, 5exprecd 12021 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
76sumeq2i 13181 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( 2 ^ k ) )
8 halfcn 10546 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9 halfre 10545 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
10 0le1 9868 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
11 1re 9390 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
12 2re 10396 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
13 2pos 10418 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
14 ge0div 10201 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1511, 12, 13, 14mp3an 1314 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
1610, 15mpbi 208 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
17 absid 12790 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
189, 16, 17mp2an 672 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
19 halflt1 10548 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
2018, 19eqbrtri 4316 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
21 geoisum1 13344 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  /  2 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) ) )
228, 20, 21mp2an 672 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  ( ( 1  /  2
)  /  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) ) )
23 1mhlfehlf 10549 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
2423oveq2i 6107 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )
25 ax-1cn 9345 . . . . 5  |-  1  e.  CC
26 ax-1ne0 9356 . . . . 5  |-  1  =/=  0
2725, 1, 26, 3divne0i 10084 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
288, 27dividi 10069 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2922, 24, 283eqtri 2467 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  1
307, 29eqtr3i 2465 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ^cexp 11870   abscabs 12728   sum_csu 13168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator