MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum Unicode version

Theorem geoihalfsum 12614
Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 12611. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 12613 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 10026 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3 2ne0 10039 . . . . 5  |-  2  =/=  0
43a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
5 nnz 10259 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
62, 4, 5exprecd 11486 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
76sumeq2i 12448 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( 2 ^ k ) )
81, 3reccli 9700 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9 2re 10025 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
109, 3rereccli 9735 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
11 0le1 9507 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
12 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
13 2pos 10038 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
14 ge0div 9833 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1512, 9, 13, 14mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
1611, 15mpbi 200 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
17 absid 12056 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
1810, 16, 17mp2an 654 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
19 halflt1 10145 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
2018, 19eqbrtri 4191 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
21 geoisum1 12611 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  /  2 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) ) )
228, 20, 21mp2an 654 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  ( ( 1  /  2
)  /  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) ) )
23 1mhlfehlf 10146 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
2423oveq2i 6051 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )
25 ax-1cn 9004 . . . . 5  |-  1  e.  CC
26 ax-1ne0 9015 . . . . 5  |-  1  =/=  0
2725, 1, 26, 3divne0i 9718 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
288, 27dividi 9703 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2922, 24, 283eqtri 2428 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  1
307, 29eqtr3i 2426 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
  Copyright terms: Public domain W3C validator