MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum2 Structured version   Unicode version

Theorem geo2sum2 13662
Description: The value of the finite geometric series  1  +  2  +  4  +  8  +...  +  2 ^ ( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem geo2sum2
StepHypRef Expression
1 nn0z 10899 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
2 fzoval 11810 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
43sumeq1d 13502 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k ) )
5 2cn 10618 . . . 4  |-  2  e.  CC
65a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
7 1ne2 10760 . . . . 5  |-  1  =/=  2
87necomi 2737 . . . 4  |-  2  =/=  1
98a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  =/=  1 )
10 id 22 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
116, 9, 10geoser 13657 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k )  =  ( ( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
126, 10expcld 12290 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
13 ax-1cn 9562 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
1512, 14subcld 9942 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  e.  CC )
16 ax-1ne0 9573 . . . . 5  |-  1  =/=  0
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  =/=  0 )
1815, 14, 17div2negd 10347 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 ) )
1912, 14negsubdi2d 9958 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  -u (
( 2 ^ N
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N
) ) )
20 2m1e1 10662 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2120negeqi 9825 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
225, 13negsubdi2i 9917 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
2321, 22eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 1  -  2 )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  -u 1  =  ( 1  -  2 ) )
2519, 24oveq12d 6313 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
2615div1d 10324 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
2718, 25, 263eqtr3d 2516 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
284, 11, 273eqtrd 2512 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   ^cexp 12146   sum_csu 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator