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Theorem geo2sum 13316
Description: The value of the finite geometric series  2 ^ -u 1  +  2 ^ -u 2  +...  +  2 ^
-u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 10665 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
2 nnz 10656 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantr 462 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
4 simplr 747 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
5 2nn 10467 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
6 elfznn 11465 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
76adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
87nnnn0d 10624 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
9 nnexpcl 11862 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
105, 8, 9sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
1110nncnd 10326 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
1210nnne0d 10354 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  =/=  0 )
134, 11, 12divcld 10095 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
14 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6096 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 13231 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
17 1m1e0 10378 . . . . 5  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1817oveq1i 6090 . . . 4  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
1918sumeq1i 13159 . . 3  |-  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
20 halfcn 10529 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
21 elfznn0 11468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
2221adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
23 expcl 11867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
2420, 22, 23sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ j )  e.  CC )
25 2cnd 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  CC )
26 2ne0 10402 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
2824, 25, 27divrecd 10098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  /  2 )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
29 expp1 11856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
3020, 22, 29sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
31 elfzelz 11440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
3231peano2zd 10738 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
3332adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
3425, 27, 33exprecd 12000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
3528, 30, 343eqtr2rd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  /  2
) )
3635oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  /  2 ) ) )
37 simplr 747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
38 peano2nn0 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
3922, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
40 nnexpcl 11862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
415, 39, 40sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4241nncnd 10326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4341nnne0d 10354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4437, 42, 43divrecd 10098 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( A  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
4524, 37, 25, 27div12d 10131 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) )  =  ( A  x.  (
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  /  2 ) ) )
4636, 44, 453eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
4746sumeq2dv 13164 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^ j )  x.  ( A  /  2
) ) )
48 fzfid 11779 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
49 halfcl 10538 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
5049adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
5148, 50, 24fsummulc1 13235 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
5247, 51eqtr4d 2468 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
5319, 52syl5eq 2477 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
54 2cnd 10382 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
5526a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  =/=  0 )
5654, 55, 3exprecd 12000 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
)  =  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )
5756oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
( 1  /  2
) ^ N ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
58 1mhlfehlf 10532 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
6057, 59oveq12d 6098 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
61 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
6261, 54, 55divrec2d 10099 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )
6360, 62oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )
64 ax-1cn 9328 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
65 nnnn0 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
6665adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  NN0 )
67 nnexpcl 11862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
685, 66, 67sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
6968nnrecred 10355 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
7069recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
71 subcl 9597 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7264, 70, 71sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7320a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
74 0re 9374 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
75 halfgt0 10530 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7674, 75gtneii 9474 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
7776a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
7872, 73, 77divcld 10095 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  /  (
1  /  2 ) )  e.  CC )
7978, 73, 61mulassd 9397 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
8072, 73, 77divcan1d 10096 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  / 
( 1  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
8180oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  x.  A ) )
8263, 79, 813eqtr2d 2471 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
83 halfre 10528 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
84 halflt1 10531 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
8583, 84ltneii 9475 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  =/=  1
8685a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  1 )
8773, 86, 66geoser 13312 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  =  ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) ) )
8887oveq1d 6095 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
89 mulid2 9372 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
9089adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
9190eqcomd 2438 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( 1  x.  A ) )
9268nncnd 10326 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
9368nnne0d 10354 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  =/=  0 )
9461, 92, 93divrec2d 10099 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) )
9591, 94oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  x.  A
) ) )
9664a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
9796, 70, 61subdird 9789 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  x.  A
)  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) ) )
9895, 97eqtr4d 2468 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
9982, 88, 983eqtr4d 2475 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( A  -  ( A  /  (
2 ^ N ) ) ) )
10016, 53, 993eqtrd 2469 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ...cfz 11424   ^cexp 11849   sum_csu 13147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148
This theorem is referenced by:  geo2lim  13318  ovollb2lem  20813  ovoliunlem1  20827
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