Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum Structured version   Unicode version

Theorem geo2sum 13922
 Description: The value of the finite geometric series ... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 10970 . . 3
2 nnz 10961 . . . 4
32adantr 467 . . 3
4 simplr 761 . . . 4
5 2nn 10769 . . . . . 6
6 elfznn 11830 . . . . . . . 8
76adantl 468 . . . . . . 7
87nnnn0d 10927 . . . . . 6
9 nnexpcl 12286 . . . . . 6
105, 8, 9sylancr 668 . . . . 5
1110nncnd 10627 . . . 4
1210nnne0d 10656 . . . 4
134, 11, 12divcld 10385 . . 3
14 oveq2 6311 . . . 4
1514oveq2d 6319 . . 3
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 13835 . 2
17 1m1e0 10680 . . . . 5
1817oveq1i 6313 . . . 4
1918sumeq1i 13757 . . 3
20 halfcn 10831 . . . . . . . . . 10
21 elfznn0 11889 . . . . . . . . . . 11
2221adantl 468 . . . . . . . . . 10
23 expcl 12291 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23sylancr 668 . . . . . . . . 9
25 2cnd 10684 . . . . . . . . 9
26 2ne0 10704 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9
2824, 25, 27divrecd 10388 . . . . . . . 8
29 expp1 12280 . . . . . . . . 9
3020, 22, 29sylancr 668 . . . . . . . 8
31 elfzelz 11802 . . . . . . . . . . 11
3231peano2zd 11045 . . . . . . . . . 10
3332adantl 468 . . . . . . . . 9
3425, 27, 33exprecd 12425 . . . . . . . 8
3528, 30, 343eqtr2rd 2471 . . . . . . 7
3635oveq2d 6319 . . . . . 6
37 simplr 761 . . . . . . 7
38 peano2nn0 10912 . . . . . . . . . 10
3922, 38syl 17 . . . . . . . . 9
40 nnexpcl 12286 . . . . . . . . 9
415, 39, 40sylancr 668 . . . . . . . 8
4241nncnd 10627 . . . . . . 7
4341nnne0d 10656 . . . . . . 7
4437, 42, 43divrecd 10388 . . . . . 6
4524, 37, 25, 27div12d 10421 . . . . . 6
4636, 44, 453eqtr4d 2474 . . . . 5
4746sumeq2dv 13762 . . . 4
48 fzfid 12187 . . . . 5
49 halfcl 10840 . . . . . 6
5049adantl 468 . . . . 5
5148, 50, 24fsummulc1 13839 . . . 4
5247, 51eqtr4d 2467 . . 3
5319, 52syl5eq 2476 . 2
54 2cnd 10684 . . . . . . . 8
5526a1i 11 . . . . . . . 8
5654, 55, 3exprecd 12425 . . . . . . 7
5756oveq2d 6319 . . . . . 6
58 1mhlfehlf 10834 . . . . . . 7
5958a1i 11 . . . . . 6
6057, 59oveq12d 6321 . . . . 5
61 simpr 463 . . . . . 6
6261, 54, 55divrec2d 10389 . . . . 5
6360, 62oveq12d 6321 . . . 4
64 ax-1cn 9599 . . . . . . 7
65 nnnn0 10878 . . . . . . . . . . 11
6665adantr 467 . . . . . . . . . 10
67 nnexpcl 12286 . . . . . . . . . 10
685, 66, 67sylancr 668 . . . . . . . . 9
6968nnrecred 10657 . . . . . . . 8
7069recnd 9671 . . . . . . 7
71 subcl 9876 . . . . . . 7
7264, 70, 71sylancr 668 . . . . . 6
7320a1i 11 . . . . . 6
74 0re 9645 . . . . . . . 8
75 halfgt0 10832 . . . . . . . 8
7674, 75gtneii 9748 . . . . . . 7
7776a1i 11 . . . . . 6
7872, 73, 77divcld 10385 . . . . 5
7978, 73, 61mulassd 9668 . . . 4
8072, 73, 77divcan1d 10386 . . . . 5
8180oveq1d 6318 . . . 4
8263, 79, 813eqtr2d 2470 . . 3
83 halfre 10830 . . . . . . 7
84 halflt1 10833 . . . . . . 7
8583, 84ltneii 9749 . . . . . 6
8685a1i 11 . . . . 5
8773, 86, 66geoser 13918 . . . 4
8887oveq1d 6318 . . 3
89 mulid2 9643 . . . . . . 7
9089adantl 468 . . . . . 6
9190eqcomd 2431 . . . . 5
9268nncnd 10627 . . . . . 6
9368nnne0d 10656 . . . . . 6
9461, 92, 93divrec2d 10389 . . . . 5
9591, 94oveq12d 6321 . . . 4
9664a1i 11 . . . . 5
9796, 70, 61subdird 10077 . . . 4
9895, 97eqtr4d 2467 . . 3
9982, 88, 983eqtr4d 2474 . 2
10016, 53, 993eqtrd 2468 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1438   wcel 1869   wne 2619  (class class class)co 6303  cc 9539  cc0 9541  c1 9542   caddc 9544   cmul 9546   cmin 9862   cdiv 10271  cn 10611  c2 10661  cn0 10871  cz 10939  cfz 11786  cexp 12273  csu 13745 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746 This theorem is referenced by:  geo2lim  13924  ovollb2lem  22433  ovoliunlem1  22447
 Copyright terms: Public domain W3C validator