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Theorem geo2sum 13694
Description: The value of the finite geometric series  2 ^ -u 1  +  2 ^ -u 2  +...  +  2 ^
-u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 10916 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
2 nnz 10907 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
4 simplr 755 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
5 2nn 10714 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
6 elfznn 11739 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
87nnnn0d 10873 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
9 nnexpcl 12182 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
105, 8, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
1110nncnd 10572 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
1210nnne0d 10601 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  =/=  0 )
134, 11, 12divcld 10341 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
14 oveq2 6304 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6312 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 13608 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
17 1m1e0 10625 . . . . 5  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1817oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
1918sumeq1i 13532 . . 3  |-  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
20 halfcn 10776 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
21 elfznn0 11797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
2221adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
23 expcl 12187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
2420, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ j )  e.  CC )
25 2cnd 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  CC )
26 2ne0 10649 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
2824, 25, 27divrecd 10344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  /  2 )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
29 expp1 12176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
3020, 22, 29sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
31 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
3231peano2zd 10993 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
3332adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
3425, 27, 33exprecd 12321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
3528, 30, 343eqtr2rd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  /  2
) )
3635oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  /  2 ) ) )
37 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
38 peano2nn0 10857 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
3922, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
40 nnexpcl 12182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
415, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4241nncnd 10572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4341nnne0d 10601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4437, 42, 43divrecd 10344 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( A  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
4524, 37, 25, 27div12d 10377 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) )  =  ( A  x.  (
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  /  2 ) ) )
4636, 44, 453eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
4746sumeq2dv 13537 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^ j )  x.  ( A  /  2
) ) )
48 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
49 halfcl 10785 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
5049adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
5148, 50, 24fsummulc1 13612 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
5247, 51eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
5319, 52syl5eq 2510 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
54 2cnd 10629 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
5526a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  =/=  0 )
5654, 55, 3exprecd 12321 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
)  =  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )
5756oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
( 1  /  2
) ^ N ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
58 1mhlfehlf 10779 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
6057, 59oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
61 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
6261, 54, 55divrec2d 10345 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )
6360, 62oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )
64 ax-1cn 9567 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
65 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  NN0 )
67 nnexpcl 12182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
685, 66, 67sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
6968nnrecred 10602 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
7069recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
71 subcl 9838 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7264, 70, 71sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7320a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
74 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
75 halfgt0 10777 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7674, 75gtneii 9713 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
7776a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
7872, 73, 77divcld 10341 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  /  (
1  /  2 ) )  e.  CC )
7978, 73, 61mulassd 9636 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
8072, 73, 77divcan1d 10342 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  / 
( 1  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
8180oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  x.  A ) )
8263, 79, 813eqtr2d 2504 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
83 halfre 10775 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
84 halflt1 10778 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
8583, 84ltneii 9714 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  =/=  1
8685a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  1 )
8773, 86, 66geoser 13690 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  =  ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) ) )
8887oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
89 mulid2 9611 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
9089adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
9190eqcomd 2465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( 1  x.  A ) )
9268nncnd 10572 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
9368nnne0d 10601 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  =/=  0 )
9461, 92, 93divrec2d 10345 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) )
9591, 94oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  x.  A
) ) )
9664a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
9796, 70, 61subdird 10034 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  x.  A
)  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) ) )
9895, 97eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
9982, 88, 983eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( A  -  ( A  /  (
2 ^ N ) ) ) )
10016, 53, 993eqtrd 2502 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ...cfz 11697   ^cexp 12169   sum_csu 13520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521
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