Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpv Structured version   Unicode version

Theorem genpv 9378
 Description: Value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1
genp.2
Assertion
Ref Expression
genpv
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,,,)

Proof of Theorem genpv
StepHypRef Expression
1 oveq1 6292 . . . 4
2 rexeq 3059 . . . . 5
32abbidv 2603 . . . 4
41, 3eqeq12d 2489 . . 3
5 oveq2 6293 . . . 4
6 rexeq 3059 . . . . . 6
76rexbidv 2973 . . . . 5
87abbidv 2603 . . . 4
95, 8eqeq12d 2489 . . 3
10 elprnq 9370 . . . . . . . . 9
11 elprnq 9370 . . . . . . . . 9
12 genp.2 . . . . . . . . . 10
13 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
1510, 11, 14syl2an 477 . . . . . . . 8
1615an4s 824 . . . . . . 7
1716rexlimdvva 2962 . . . . . 6
1817abssdv 3574 . . . . 5
19 nqex 9302 . . . . 5
20 ssexg 4593 . . . . 5
2118, 19, 20sylancl 662 . . . 4
22 rexeq 3059 . . . . . 6
2322abbidv 2603 . . . . 5
24 rexeq 3059 . . . . . . 7
2524rexbidv 2973 . . . . . 6
2625abbidv 2603 . . . . 5
27 genp.1 . . . . 5
2823, 26, 27ovmpt2g 6422 . . . 4
2921, 28mpd3an3 1325 . . 3
304, 9, 29vtocl2ga 3179 . 2
31 eqeq1 2471 . . . . 5
32312rexbidv 2980 . . . 4
33 oveq1 6292 . . . . . 6
3433eqeq2d 2481 . . . . 5
35 oveq2 6293 . . . . . 6
3635eqeq2d 2481 . . . . 5
3734, 36cbvrex2v 3097 . . . 4
3832, 37syl6bb 261 . . 3
3938cbvabv 2610 . 2
4030, 39syl6eq 2524 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wrex 2815  cvv 3113   wss 3476  (class class class)co 6285   cmpt2 6287  cnq 9231  cnp 9238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-ni 9251  df-nq 9291  df-np 9360 This theorem is referenced by:  genpelv  9379  plpv  9389  mpv  9390
 Copyright terms: Public domain W3C validator