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Theorem genpv 9180
Description: Value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpv  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  =  { f  |  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, g, h, A    x, B, y, z, f, g, h   
x, w, v, G, y, z, f, g, h    f, F, g
Allowed substitution hints:    A( w, v)    B( w, v)    F( x, y, z, w, v, h)

Proof of Theorem genpv
StepHypRef Expression
1 oveq1 6110 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  (
f F g )  =  ( A F g ) )
2 rexeq 2930 . . . . 5  |-  ( f  =  A  ->  ( E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) ) )
32abbidv 2563 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
41, 3eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( f  =  A  ->  (
( f F g )  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  <-> 
( A F g )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } ) )
5 oveq2 6111 . . . 4  |-  ( g  =  B  ->  ( A F g )  =  ( A F B ) )
6 rexeq 2930 . . . . . 6  |-  ( g  =  B  ->  ( E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  <->  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) ) )
76rexbidv 2748 . . . . 5  |-  ( g  =  B  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) ) )
87abbidv 2563 . . . 4  |-  ( g  =  B  ->  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) } )
95, 8eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( g  =  B  ->  (
( A F g )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  <-> 
( A F B )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) } ) )
10 elprnq 9172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  P.  /\  y  e.  f )  ->  y  e.  Q. )
11 elprnq 9172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  P.  /\  z  e.  g )  ->  z  e.  Q. )
12 genp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
13 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y G z )  ->  (
x  e.  Q.  <->  ( y G z )  e. 
Q. ) )
1412, 13syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
1510, 11, 14syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  P.  /\  y  e.  f )  /\  ( g  e. 
P.  /\  z  e.  g ) )  -> 
( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
1615an4s 822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  /\  ( y  e.  f  /\  z  e.  g ) )  ->  (
x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. )
)
1716rexlimdvva 2860 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
1817abssdv 3438 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  C_  Q. )
19 nqex 9104 . . . . 5  |-  Q.  e.  _V
20 ssexg 4450 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  C_  Q.  /\  Q.  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
2118, 19, 20sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
22 rexeq 2930 . . . . . 6  |-  ( w  =  f  ->  ( E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) ) )
2322abbidv 2563 . . . . 5  |-  ( w  =  f  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
24 rexeq 2930 . . . . . . 7  |-  ( v  =  g  ->  ( E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  <->  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) ) )
2524rexbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( v  =  g  ->  ( E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) ) )
2625abbidv 2563 . . . . 5  |-  ( v  =  g  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
27 genp.1 . . . . 5  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
2823, 26, 27ovmpt2g 6237 . . . 4  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P.  /\  {
x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )  ->  ( f F g )  =  {
x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
2921, 28mpd3an3 1315 . . 3  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f F g )  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
304, 9, 29vtocl2ga 3050 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) } )
31 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
x  =  ( y G z )  <->  f  =  ( y G z ) ) )
32312rexbidv 2770 . . . 4  |-  ( x  =  f  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  f  =  ( y G z ) ) )
33 oveq1 6110 . . . . . 6  |-  ( y  =  g  ->  (
y G z )  =  ( g G z ) )
3433eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( y  =  g  ->  (
f  =  ( y G z )  <->  f  =  ( g G z ) ) )
35 oveq2 6111 . . . . . 6  |-  ( z  =  h  ->  (
g G z )  =  ( g G h ) )
3635eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( z  =  h  ->  (
f  =  ( g G z )  <->  f  =  ( g G h ) ) )
3734, 36cbvrex2v 2968 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  f  =  ( y G z )  <->  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) )
3832, 37syl6bb 261 . . 3  |-  ( x  =  f  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z )  <->  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) ) )
3938cbvabv 2570 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) }  =  { f  |  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) }
4030, 39syl6eq 2491 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  =  { f  |  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    C_ wss 3340  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   Q.cnq 9031   P.cnp 9038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-ni 9053  df-nq 9093  df-np 9162
This theorem is referenced by:  genpelv  9181  plpv  9191  mpv  9192
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