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Theorem genpnnp 9379
Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
genpnnp.3  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
genpnnp.4  |-  ( x G y )  =  ( y G x )
Assertion
Ref Expression
genpnnp  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z, w, v    x, G    y, w, v, G, z    w, A, v   
w, B, v    w, F, v
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)

Proof of Theorem genpnnp
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 9364 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C. 
Q. )
2 pssnel 3892 . . . . 5  |-  ( A 
C.  Q.  ->  E. w
( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  E. w
( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
) )
4 prpssnq 9364 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C. 
Q. )
5 pssnel 3892 . . . . 5  |-  ( B 
C.  Q.  ->  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )
73, 6anim12i 566 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A
)  /\  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) ) )
8 eeanv 1957 . . 3  |-  ( E. w E. v ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  <->  ( E. w ( w  e. 
Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  E. v ( v  e. 
Q.  /\  -.  v  e.  B ) ) )
97, 8sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  (
v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B
) ) )
10 prub 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  f  <Q  w ) )
11 prub 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( -.  v  e.  B  ->  g  <Q 
v ) )
1210, 11im2anan9 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  (
f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
13 elprnq 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  Q. )
1413anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. ) )
15 elprnq 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  Q. )
1615anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( g  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. ) )
17 ltsonq 9343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <Q  Or  Q.
18 so2nr 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  -.  (
f  <Q  w  /\  w  <Q  f ) )
1917, 18mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  w  <Q  f
) )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  w  <Q  f ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  v  e.  Q. )
22 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  f  e.  Q. )
2321, 22anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( v  e.  Q.  /\  f  e. 
Q. ) )
2423ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( v  e.  Q.  /\  f  e. 
Q. ) )
25 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  w  e. 
_V
26 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  v  e. 
_V
27 genpnnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
28 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
29 genpnnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x G y )  =  ( y G x )
30 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  g  e. 
_V
3125, 26, 27, 28, 29, 30caovord3 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  ( w  <Q  f  <-> 
g  <Q  v ) )
3231anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  ( ( f 
<Q  w  /\  w  <Q  f )  <->  ( f  <Q  w  /\  g  <Q 
v ) ) )
3324, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  (
( f  <Q  w  /\  w  <Q  f )  <-> 
( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
3420, 33mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( (
w G v )  =  ( f G g )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
3635con2d 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( (
f  <Q  w  /\  g  <Q  v )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3714, 16, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( f  <Q  w  /\  g  <Q  v )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3812, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3938an4s 824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  g  e.  B ) )  /\  ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( w  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) ) )
4140an4s 824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( f  e.  A  /\  g  e.  B
) )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( f  e.  A  /\  g  e.  B )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) ) )
4342com24 87 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( f  e.  A  /\  g  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) ) )
4443imp32 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  (
( f  e.  A  /\  g  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) )
4544ralrimivv 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) )
46 ralnex 2910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
4746ralbii 2895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  A. f  e.  A  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
48 ralnex 2910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  A  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
4947, 48bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
5045, 49sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
w G v )  =  ( f G g ) )
51 genp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
52 genp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
5351, 52genpelv 9374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w G v )  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  (
( w G v )  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
5550, 54mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  -.  ( w G v )  e.  ( A F B ) )
5655expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5756ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  /\  ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  (
w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5857an4s 824 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  (
w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5952caovcl 6451 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( w G v )  e.  Q. )
60 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A F B )  =  Q.  ->  (
( w G v )  e.  ( A F B )  <->  ( w G v )  e. 
Q. ) )
6160biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( w G v )  e.  Q.  ->  (
( A F B )  =  Q.  ->  ( w G v )  e.  ( A F B ) ) )
6261con3d 133 . . . . . . 7  |-  ( ( w G v )  e.  Q.  ->  ( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
)
6359, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6463ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6558, 64syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6665com12 31 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  ( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6766exlimdvv 1701 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w E. v ( ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  ( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
689, 67mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815    C. wpss 3477   class class class wbr 4447    Or wor 4799  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Q.cnq 9226    <Q cltq 9232   P.cnp 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ni 9246  df-mi 9248  df-lti 9249  df-ltpq 9284  df-enq 9285  df-nq 9286  df-ltnq 9292  df-np 9355
This theorem is referenced by:  genpcl  9382
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