MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpnnp Unicode version

Theorem genpnnp 8838
Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
genpnnp.3  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
genpnnp.4  |-  ( x G y )  =  ( y G x )
Assertion
Ref Expression
genpnnp  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z, w, v    x, G    y, w, v, G, z    w, A, v   
w, B, v    w, F, v
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)

Proof of Theorem genpnnp
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 8823 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C.  Q. )
2 pssnel 3653 . . . . 5  |-  ( A 
C.  Q.  ->  E. w
( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  E. w
( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
) )
4 prpssnq 8823 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C.  Q. )
5 pssnel 3653 . . . . 5  |-  ( B 
C.  Q.  ->  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )
73, 6anim12i 550 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A
)  /\  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) ) )
8 eeanv 1933 . . 3  |-  ( E. w E. v ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  <->  ( E. w ( w  e. 
Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  E. v ( v  e. 
Q.  /\  -.  v  e.  B ) ) )
97, 8sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  (
v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B
) ) )
10 prub 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  f  <Q  w ) )
11 prub 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( -.  v  e.  B  ->  g  <Q 
v ) )
1210, 11im2anan9 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  (
f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
13 elprnq 8824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  Q. )
1413anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. ) )
15 elprnq 8824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  Q. )
1615anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( g  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. ) )
17 ltsonq 8802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <Q  Or  Q.
18 so2nr 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  -.  (
f  <Q  w  /\  w  <Q  f ) )
1917, 18mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  w  <Q  f
) )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  w  <Q  f ) )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  v  e.  Q. )
22 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  f  e.  Q. )
2321, 22anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( v  e.  Q.  /\  f  e. 
Q. ) )
2423ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( v  e.  Q.  /\  f  e. 
Q. ) )
25 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  w  e. 
_V
26 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  v  e. 
_V
27 genpnnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
28 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
29 genpnnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x G y )  =  ( y G x )
30 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  g  e. 
_V
3125, 26, 27, 28, 29, 30caovord3 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  ( w  <Q  f  <-> 
g  <Q  v ) )
3231anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  ( ( f 
<Q  w  /\  w  <Q  f )  <->  ( f  <Q  w  /\  g  <Q 
v ) ) )
3324, 32sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  (
( f  <Q  w  /\  w  <Q  f )  <-> 
( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
3420, 33mtbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) )
3534ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( (
w G v )  =  ( f G g )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
3635con2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( (
f  <Q  w  /\  g  <Q  v )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3714, 16, 36syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( f  <Q  w  /\  g  <Q  v )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3812, 37syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3938an4s 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  g  e.  B ) )  /\  ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) )
4039ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( w  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) ) )
4140an4s 800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( f  e.  A  /\  g  e.  B
) )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) )
4241ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( f  e.  A  /\  g  e.  B )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) ) )
4342com24 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( f  e.  A  /\  g  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) ) )
4443imp32 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  (
( f  e.  A  /\  g  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) )
4544ralrimivv 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) )
46 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
4746ralbii 2690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  A. f  e.  A  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
48 ralnex 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  A  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
4947, 48bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
5045, 49sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
w G v )  =  ( f G g ) )
51 genp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
52 genp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
5351, 52genpelv 8833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w G v )  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
5453adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  (
( w G v )  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
5550, 54mtbird 293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  -.  ( w G v )  e.  ( A F B ) )
5655expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5756ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  /\  ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  (
w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5857an4s 800 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  (
w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5952caovcl 6200 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( w G v )  e.  Q. )
60 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A F B )  =  Q.  ->  (
( w G v )  e.  ( A F B )  <->  ( w G v )  e. 
Q. ) )
6160biimprcd 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( w G v )  e.  Q.  ->  (
( A F B )  =  Q.  ->  ( w G v )  e.  ( A F B ) ) )
6261con3d 127 . . . . . . 7  |-  ( ( w G v )  e.  Q.  ->  ( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
)
6359, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6463ad2ant2r 728 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6558, 64syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6665com12 29 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  ( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6766exlimdvv 1644 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w E. v ( ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  ( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
689, 67mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667    C. wpss 3281   class class class wbr 4172    Or wor 4462  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   Q.cnq 8683    <Q cltq 8689   P.cnp 8690
This theorem is referenced by:  genpcl  8841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-mi 8707  df-lti 8708  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-ltnq 8751  df-np 8814
  Copyright terms: Public domain W3C validator