Theorem genpnnp 6260

Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpnnp.2	|- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (wGv) e. Q.)
genpnnp.3	|- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
genpnnp.4	|- (xGy) = (yGx)

Assertion

Ref	Expression
genpnnp	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z   w,A,v   w,B,v   w,F,v

Proof of Theorem genpnnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 6246	. . . . 5 |- (A e. P. -> A C. Q.)
2		pssnel 2938	. . . . 5 |- (A C. Q. -> E.w(w e. Q. /\ -. w e. A))
3	1, 2	syl 12	. . . 4 |- (A e. P. -> E.w(w e. Q. /\ -. w e. A))
4		prpssnq 6246	. . . . 5 |- (B e. P. -> B C. Q.)
5		pssnel 2938	. . . . 5 |- (B C. Q. -> E.v(v e. Q. /\ -. v e. B))
6	4, 5	syl 12	. . . 4 |- (B e. P. -> E.v(v e. Q. /\ -. v e. B))
7	3, 6	anim12i 360	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.w(w e. Q. /\ -. w e. A) /\ E.v(v e. Q. /\ -. v e. B)))
8		eeanv 1707	. . 3 |- (E.wE.v((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)) <-> (E.w(w e. Q. /\ -. w e. A) /\ E.v(v e. Q. /\ -. v e. B)))
9	7, 8	sylibr 217	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.wE.v((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)))
10		prub 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) -> (-. w e. A -> g <Q w))
11		prub 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.) -> (-. v e. B -> h <Q v))
12	10, 11	im2anan9 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) /\ ((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.)) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> (g <Q w /\ h <Q v)))
13		ltsopq 6227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- <Q Or Q.
14		so2nr 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (( <Q Or Q. /\ (g e. Q. /\ w e. Q.)) -> -. (g <Q w /\ w <Q g))
15	13, 14	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((g e. Q. /\ w e. Q.) -> -. (g <Q w /\ w <Q g))
16	15	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) /\ (wGv) = (gGh)) -> -. (g <Q w /\ w <Q g))
17		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- w e. _V
18		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- v e. _V
19		genpnnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
20		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- g e. _V
21		genpnnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (xGy) = (yGx)
22		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- h e. _V
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	caoprord3 4991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((v e. Q. /\ g e. Q.) /\ (wGv) = (gGh)) -> (w <Q g <-> h <Q v))
24	23	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((v e. Q. /\ g e. Q.) /\ (wGv) = (gGh)) -> ((g <Q w /\ w <Q g) <-> (g <Q w /\ h <Q v)))
25		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((h e. Q. /\ v e. Q.) -> v e. Q.)
26		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((g e. Q. /\ w e. Q.) -> g e. Q.)
27	25, 26	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((h e. Q. /\ v e. Q.) /\ (g e. Q. /\ w e. Q.)) -> (v e. Q. /\ g e. Q.))
28	27	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) -> (v e. Q. /\ g e. Q.))
29	24, 28	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) /\ (wGv) = (gGh)) -> ((g <Q w /\ w <Q g) <-> (g <Q w /\ h <Q v)))
30	16, 29	mtbid 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) /\ (wGv) = (gGh)) -> -. (g <Q w /\ h <Q v))
31	30	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) -> ((wGv) = (gGh) -> -. (g <Q w /\ h <Q v)))
32	31	con2d 107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) -> ((g <Q w /\ h <Q v) -> -. (wGv) = (gGh)))
33		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. P. /\ g e. A) -> g e. Q.)
34	33	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) -> (g e. Q. /\ w e. Q.))
35		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((B e. P. /\ h e. B) -> h e. Q.)
36	35	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.) -> (h e. Q. /\ v e. Q.))
37	32, 34, 36	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) /\ ((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.)) -> ((g <Q w /\ h <Q v) -> -. (wGv) = (gGh)))
38	12, 37	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) /\ ((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.)) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))
39	38	an4s 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.)) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))
40	39	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh))))
41	40	an4s 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (g e. A /\ h e. B)) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh))))
42	41	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))))
43	42	com24 41	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))))
44	43	imp32 390	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> ((g e. A /\ h e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))
45		imnan 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((g e. A /\ h e. B) -> -. (wGv) = (gGh)) <-> -. ((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
46	44, 45	sylib 215	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> -. ((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
47	46	nexdv 1711	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> -. E.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
48	47	nexdv 1711	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> -. E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
49	48	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.)) -> -. E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh))))
50		genp.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
51	50	genpv 6254	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))})
52	51	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((wGv) e. (AFB) <-> (wGv) e. {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))}))
53		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (wGv) e. _V
54		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f = (wGv) -> (f = (gGh) <-> (wGv) = (gGh)))
55	54	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f = (wGv) -> (((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> ((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh))))
56	55	2exbidv 1659	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = (wGv) -> (E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh))))
57	53, 56	elab 2403	. . . . . . . . . . 11 |- ((wGv) e. {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))} <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
58	52, 57	syl6bb 595	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((wGv) e. (AFB) <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh))))
59	58	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (-. (wGv) e. (AFB) <-> -. E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh))))
60	49, 59	sylibrd 221	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.)) -> -. (wGv) e. (AFB)))
61	60	com12 14	. . . . . . 7 |- (((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.)) -> ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (wGv) e. (AFB)))
62	61	ancoms 484	. . . . . 6 |- (((w e. Q. /\ v e. Q.) /\ (-. w e. A /\ -. v e. B)) -> ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (wGv) e. (AFB)))
63	62	an4s 566	. . . . 5 |- (((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)) -> ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (wGv) e. (AFB)))
64		genpnnp.2	. . . . . . 7 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (wGv) e. Q.)
65		eleq2 1958	. . . . . . . . 9 |- ((AFB) = Q. -> ((wGv) e. (AFB) <-> (wGv) e. Q.))
66	65	biimprcd 173	. . . . . . . 8 |- ((wGv) e. Q. -> ((AFB) = Q. -> (wGv) e. (AFB)))
67	66	con3d 111	. . . . . . 7 |- ((wGv) e. Q. -> (-. (wGv) e. (AFB) -> -. (AFB) = Q.))
68	64, 67	syl 12	. . . . . 6 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (-. (wGv) e. (AFB) -> -. (AFB) = Q.))
69	68	ad2ant2r 445	. . . . 5 |- (((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)) -> (-. (wGv) e. (AFB) -> -. (AFB) = Q.))
70	63, 69	syld 30	. . . 4 |- (((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)) -> ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.))
71	70	com12 14	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)) -> -. (AFB) = Q.))
72	71	19.23advv 1676	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.wE.v((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)) -> -. (AFB) = Q.))
73	9, 72	mpd 29	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106   C. wpss 2594   class class class wbr 3338   Or wor 3590  (class class class)co 4884  {copab2 4885  Q.cnq 6131   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  genpcl 6263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-enq 6189  df-nq 6190  df-ltq 6194  df-np 6238

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