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Theorem genpnmax 9172
Description: An operation on positive reals has no largest member. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
genpnmax.2  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  ( v G z )  <Q 
( v G w ) ) )
genpnmax.3  |-  ( z G w )  =  ( w G z )
Assertion
Ref Expression
genpnmax  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( f  e.  ( A F B )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x )
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, A    x, B, y, z, f    x, w, v, G, y, z, f    f, F, x, y
Allowed substitution hints:    A( w, v)    B( w, v)    F( z, w, v)

Proof of Theorem genpnmax
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . 3  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
2 genp.2 . . 3  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
31, 2genpelv 9165 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( f  e.  ( A F B )  <->  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) ) )
4 prnmax 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  ->  E. y  e.  A  g  <Q  y )
54adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  ->  E. y  e.  A  g  <Q  y )
61, 2genpprecl 9166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( y  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
y G h )  e.  ( A F B ) ) )
76exp4b 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( y  e.  A  -> 
( h  e.  B  ->  ( y G h )  e.  ( A F B ) ) ) ) )
87com34 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( h  e.  B  -> 
( y  e.  A  ->  ( y G h )  e.  ( A F B ) ) ) ) )
98imp32 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( y  e.  A  ->  ( y G h )  e.  ( A F B ) ) )
10 elprnq 9156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  h  e.  B )  ->  h  e.  Q. )
11 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
12 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
13 genpnmax.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  ( v G z )  <Q 
( v G w ) ) )
14 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  h  e. 
_V
15 genpnmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z G w )  =  ( w G z )
1611, 12, 13, 14, 15caovord2 6274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
g  <Q  y  <->  ( g G h )  <Q 
( y G h ) ) )
1716biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
g  <Q  y  ->  (
g G h ) 
<Q  ( y G h ) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  h  e.  B )  ->  ( g  <Q  y  ->  ( g G h )  <Q  ( y G h ) ) )
1918adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( g  <Q  y  ->  ( g G h )  <Q 
( y G h ) ) )
209, 19anim12d 560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  g  <Q  y )  -> 
( ( y G h )  e.  ( A F B )  /\  ( g G h )  <Q  (
y G h ) ) ) )
21 breq2 4293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G h )  ->  (
( g G h )  <Q  x  <->  ( g G h )  <Q 
( y G h ) ) )
2221rspcev 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y G h )  e.  ( A F B )  /\  ( g G h )  <Q  ( y G h ) )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
2320, 22syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  g  <Q  y )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h ) 
<Q  x ) )
2423adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( y  e.  A  /\  g  <Q 
y )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x
) )
2524exp3a 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( y  e.  A  ->  ( g  <Q  y  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
) )
2625rexlimdv 2838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( E. y  e.  A  g  <Q  y  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
)
275, 26mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h ) 
<Q  x )
2827an4s 817 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( g  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x
)
29 breq1 4292 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g G h )  ->  (
f  <Q  x  <->  ( g G h )  <Q  x ) )
3029rexbidv 2734 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g G h )  ->  ( E. x  e.  ( A F B ) f 
<Q  x  <->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
)
3128, 30syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( f  =  ( g G h )  ->  (
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
g  e.  A  /\  h  e.  B )
)  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x
) )
3231exp3acom3r 1419 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
f  =  ( g G h )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f 
<Q  x ) ) )
3332rexlimdvv 2845 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x )
)
343, 33sylbid 215 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( f  e.  ( A F B )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   E.wrex 2714   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   Q.cnq 9015    <Q cltq 9021   P.cnp 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-ni 9037  df-nq 9077  df-np 9146
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