Theorem genpnmax 9397

Description: An operation on positive reals has no largest member. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
genp.2	|- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
genpnmax.2	|- ( v e. Q. -> ( z <Q w <-> ( v G z ) <Q ( v G w ) ) )
genpnmax.3	|- ( z G w ) = ( w G z )

Assertion

Ref	Expression
genpnmax	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( f e. ( A F B ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, f, A   x, B, y, z, f   x, w, v, G, y, z, f   f, F, x, y

Allowed substitution hints:   A( w, v)   B( w, v)   F( z, w, v)

Proof of Theorem genpnmax

Dummy variables g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . 3 |- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
2		genp.2	. . 3 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
3	1, 2	genpelv 9390	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( f e. ( A F B ) <-> E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) ) )
4		prnmax 9385	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ g e. A ) -> E. y e. A g <Q y )
5	4	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> E. y e. A g <Q y )
6	1, 2	genpprecl 9391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( y e. A /\ h e. B ) -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) )
7	6	exp4b 607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( y e. A -> ( h e. B -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) ) ) )
8	7	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( h e. B -> ( y e. A -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) ) ) )
9	8	imp32 433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( y e. A -> ( y G h ) e. ( A F B ) ) )
10		elprnq 9381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ h e. B ) -> h e. Q. )
11		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
12		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
13		genpnmax.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. Q. -> ( z <Q w <-> ( v G z ) <Q ( v G w ) ) )
14		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- h e. _V
15		genpnmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z G w ) = ( w G z )
16	11, 12, 13, 14, 15	caovord2 6482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. Q. -> ( g <Q y <-> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
17	16	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. Q. -> ( g <Q y -> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
18	10, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ h e. B ) -> ( g <Q y -> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
19	18	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( g <Q y -> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
20	9, 19	anim12d 563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( y e. A /\ g <Q y ) -> ( ( y G h ) e. ( A F B ) /\ ( g G h ) <Q ( y G h ) ) ) )
21		breq2 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y G h ) -> ( ( g G h ) <Q x <-> ( g G h ) <Q ( y G h ) ) )
22	21	rspcev 3219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y G h ) e. ( A F B ) /\ ( g G h ) <Q ( y G h ) ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x )
23	20, 22	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( y e. A /\ g <Q y ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
24	23	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( y e. A /\ g <Q y ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
25	24	expd 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( y e. A -> ( g <Q y -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) ) )
26	25	rexlimdv 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( E. y e. A g <Q y -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
27	5, 26	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x )
28	27	an4s 824	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( g e. A /\ h e. B ) ) -> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x )
29		breq1 4456	. . . . . 6 |- ( f = ( g G h ) -> ( f <Q x <-> ( g G h ) <Q x ) )
30	29	rexbidv 2978	. . . . 5 |- ( f = ( g G h ) -> ( E. x e. ( A F B ) f <Q x <-> E. x e. ( A F B ) ( g G h ) <Q x ) )
31	28, 30	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( f = ( g G h ) -> ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( g e. A /\ h e. B ) ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )
32	31	expdcom 439	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( g e. A /\ h e. B ) -> ( f = ( g G h ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) ) )
33	32	rexlimdvv 2965	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )
34	3, 33	sylbid 215	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( f e. ( A F B ) -> E. x e. ( A F B ) f <Q x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2818   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   Q.cnq 9242   <Q cltq 9248   P.cnp 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-ni 9262  df-nq 9302  df-np 9371

This theorem is referenced by:  genpcl  9398