MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Structured version   Unicode version

Theorem genpdm 9412
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpdm  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, G
Allowed substitution hints:    F( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  Q. )
2 elprnq 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  P.  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  Q. )
3 genp.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
4 eleq1 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y G z )  ->  (
x  e.  Q.  <->  ( y G z )  e. 
Q. ) )
53, 4syl5ibrcom 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
61, 2, 5syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  /\  ( v  e. 
P.  /\  z  e.  v ) )  -> 
( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
76an4s 829 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  /\  ( y  e.  w  /\  z  e.  v
) )  ->  (
x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. )
)
87rexlimdvva 2905 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  ( E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
98abssdv 3515 . . . 4  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q. )
10 nqex 9333 . . . 4  |-  Q.  e.  _V
11 ssexg 4542 . . . 4  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q.  /\  Q.  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 662 . . 3  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
1312rgen2a 2833 . 2  |-  A. w  e.  P.  A. v  e. 
P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V
14 genp.1 . . 3  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
1514fnmpt2 6854 . 2  |-  ( A. w  e.  P.  A. v  e.  P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V  ->  F  Fn  ( P.  X.  P. ) )
16 fndm 5663 . 2  |-  ( F  Fn  ( P.  X.  P. )  ->  dom  F  =  ( P.  X.  P. ) )
1713, 15, 16mp2b 10 1  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    C_ wss 3416    X. cxp 4823   dom cdm 4825    Fn wfn 5566  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   Q.cnq 9262   P.cnp 9269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-ni 9282  df-nq 9322  df-np 9391
This theorem is referenced by:  dmplp  9422  dmmp  9423
  Copyright terms: Public domain W3C validator