MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Structured version   Unicode version

Theorem genpdm 9371
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpdm  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, G
Allowed substitution hints:    F( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 9360 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  Q. )
2 elprnq 9360 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  P.  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  Q. )
3 genp.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
4 eleq1 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y G z )  ->  (
x  e.  Q.  <->  ( y G z )  e. 
Q. ) )
53, 4syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
61, 2, 5syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  /\  ( v  e. 
P.  /\  z  e.  v ) )  -> 
( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
76an4s 823 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  /\  ( y  e.  w  /\  z  e.  v
) )  ->  (
x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. )
)
87rexlimdvva 2957 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  ( E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
98abssdv 3569 . . . 4  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q. )
10 nqex 9292 . . . 4  |-  Q.  e.  _V
11 ssexg 4588 . . . 4  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q.  /\  Q.  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 662 . . 3  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
1312rgen2a 2886 . 2  |-  A. w  e.  P.  A. v  e. 
P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V
14 genp.1 . . 3  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
1514fnmpt2 6844 . 2  |-  ( A. w  e.  P.  A. v  e.  P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V  ->  F  Fn  ( P.  X.  P. ) )
16 fndm 5673 . 2  |-  ( F  Fn  ( P.  X.  P. )  ->  dom  F  =  ( P.  X.  P. ) )
1713, 15, 16mp2b 10 1  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2447   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108    C_ wss 3471    X. cxp 4992   dom cdm 4994    Fn wfn 5576  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   Q.cnq 9221   P.cnp 9228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-ni 9241  df-nq 9281  df-np 9350
This theorem is referenced by:  dmplp  9381  dmmp  9382
  Copyright terms: Public domain W3C validator