Theorem genpcl 5200

Description: Closure of an operation on reals.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpcl.2	|- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
genpcl.3	|- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
genpcl.4	|- (xGy) = (yGx)
genpcl.5	|- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))

Assertion

Ref	Expression
genpcl	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Distinct variable groups:   x,y,z,f,g,h,A   x,B,y,z,f,g,h,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z,f,g,h   f,F,g   w,A,v   w,B,v   x,F,y,w,v,h

Proof of Theorem genpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . . 5 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2	1	genpn0 5195	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))
3		genpcl.2	. . . . . . . 8 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
4	3	caoprcl 4130	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)
5	1, 4	genpss 5196	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (_ Q.)
6	3	caoprcl 4130	. . . . . . 7 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (wGv) e. Q.)
7		visset 1851	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		visset 1851	. . . . . . . 8 |- y e. V
9		genpcl.3	. . . . . . . 8 |- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
10	7, 8, 9	caoprord 4134	. . . . . . 7 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
11		genpcl.4	. . . . . . 7 |- (xGy) = (yGx)
12	1, 6, 10, 11	genpnnp 5197	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.)
13	5, 12	jca 286	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((AFB) (_ Q. /\ -. (AFB) = Q.))
14		dfpss2 2177	. . . . 5 |- ((AFB) (. Q. <-> ((AFB) (_ Q. /\ -. (AFB) = Q.))
15	13, 14	sylibr 198	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (. Q.)
16	2, 15	jca 286	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.))
17		genpcl.5	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))
18	1, 17	genpcd 5198	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (x <Q f -> x e. (AFB))))
19	18	19.21adv 1321	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> A.x(x <Q f -> x e. (AFB))))
20		visset 1851	. . . . . . . 8 |- z e. V
21		visset 1851	. . . . . . . 8 |- w e. V
22	20, 21, 9	caoprord 4134	. . . . . . 7 |- (v e. Q. -> (z <Q w <-> (vGz) <Q (vGw)))
23	20, 21, 11	caoprcom 4131	. . . . . . 7 |- (zGw) = (wGz)
24	1, 22, 23	genpnmax 5199	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x)))
25		df-rex 1688	. . . . . 6 |- (E.x e. (AFB)f <Q x <-> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x))
26	24, 25	syl6ibr 211	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x e. (AFB)f <Q x))
27	19, 26	jcad 602	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
28	27	r19.21aiv 1751	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x))
29	16, 28	jca 286	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
30		elnp 5181	. 2 |- ((AFB) e. P. <-> (((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
31	29, 30	sylibr 198	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  E.wex 1012  {cab 1499  A.wral 1683  E.wrex 1684   (_ wss 2091   (. wpss 2092  (/)c0 2324   class class class wbr 2669  (class class class)co 4039  {copab2 4040  Q.cnq 5068   <Q cltq 5073  P.cnp 5074

This theorem is referenced by:  addclpr 5209  mulclpr 5211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-ni 5089  df-mi 5091  df-lti 5092  df-enq 5126  df-nq 5127  df-ltq 5131  df-np 5175

Copyright terms: Public domain