Theorem genpcl 6263

Description: Closure of an operation on reals.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpcl.2	|- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
genpcl.3	|- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
genpcl.4	|- (xGy) = (yGx)
genpcl.5	|- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))

Assertion

Ref	Expression
genpcl	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Distinct variable groups:   x,y,z,f,g,h,A   x,B,y,z,f,g,h,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z,f,g,h   f,F,g   w,A,v   w,B,v   x,F,y,w,v,h

Proof of Theorem genpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2	1	genpn0 6258	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) C. (AFB))
3		dfpss2 2694	. . . 4 |- ((AFB) C. Q. <-> ((AFB) C_ Q. /\ -. (AFB) = Q.))
4		genpcl.2	. . . . . 6 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
5	4	caoprcl 4985	. . . . 5 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)
6	1, 5	genpss 6259	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) C_ Q.)
7	4	caoprcl 4985	. . . . 5 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (wGv) e. Q.)
8		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
9		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
10		genpcl.3	. . . . . 6 |- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
11	8, 9, 10	caoprord 4989	. . . . 5 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
12		genpcl.4	. . . . 5 |- (xGy) = (yGx)
13	1, 7, 11, 12	genpnnp 6260	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.)
14	3, 6, 13	sylanbrc 527	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) C. Q.)
15		genpcl.5	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))
16	1, 15	genpcd 6261	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (x <Q f -> x e. (AFB))))
17	16	19.21adv 1666	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> A.x(x <Q f -> x e. (AFB))))
18		visset 2295	. . . . . . . 8 |- z e. _V
19		visset 2295	. . . . . . . 8 |- w e. _V
20	18, 19, 10	caoprord 4989	. . . . . . 7 |- (v e. Q. -> (z <Q w <-> (vGz) <Q (vGw)))
21	18, 19, 12	caoprcom 4986	. . . . . . 7 |- (zGw) = (wGz)
22	1, 20, 21	genpnmax 6262	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x)))
23		df-rex 2110	. . . . . 6 |- (E.x e. (AFB)f <Q x <-> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x))
24	22, 23	syl6ibr 230	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x e. (AFB)f <Q x))
25	17, 24	jcad 661	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
26	25	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x))
27	2, 14, 26	jca31 311	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((/) C. (AFB) /\ (AFB) C. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
28		elnp 6244	. 2 |- ((AFB) e. P. <-> (((/) C. (AFB) /\ (AFB) C. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
29	27, 28	sylibr 217	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  {copab2 4885  Q.cnq 6131   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  addclpr 6272  mulclpr 6274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-enq 6189  df-nq 6190  df-ltq 6194  df-np 6238

Copyright terms: Public domain