MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpass Structured version   Unicode version

Theorem genpass 9419
Description: Associativity of an operation on reals. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
genpass.4  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
genpass.5  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f F g )  e.  P. )
genpass.6  |-  ( ( f G g ) G h )  =  ( f G ( g G h ) )
Assertion
Ref Expression
genpass  |-  ( ( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, g, h, A    x, B, y, z, f, g, h   
x, w, v, G, y, z, f, g, h    f, F, g    C, f, g, h, x, y, z    x, F, y, z, h
Allowed substitution hints:    A( w, v)    B( w, v)    C( w, v)    F( w, v)

Proof of Theorem genpass
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
2 genp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
31, 2genpelv 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( t  e.  ( B F C )  <->  E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h ) ) )
433adant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
t  e.  ( B F C )  <->  E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h ) ) )
54anbi1d 705 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( t  e.  ( B F C )  /\  x  =  ( f G t ) )  <->  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) ) )
65exbidv 1737 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t ( t  e.  ( B F C )  /\  x  =  ( f G t ) )  <->  E. t
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) ) )
7 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t )  <->  E. t
( t  e.  ( B F C )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
8 ovex 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g G h )  e. 
_V
98isseti 3067 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. t 
t  =  ( g G h )
109biantrur 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  ( E. t  t  =  (
g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
11 19.41v 1797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  ( E. t  t  =  (
g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1210, 11bitr4i 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1312rexbii 2908 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. h  e.  C  E. t
( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
14 rexcom4 3081 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h  e.  C  E. t ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1513, 14bitri 251 . . . . . . . 8  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1615rexbii 2908 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. g  e.  B  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
17 rexcom4 3081 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  E. t E. g  e.  B  E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
18 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( g G h )  ->  (
f G t )  =  ( f G ( g G h ) ) )
19 genpass.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f G g ) G h )  =  ( f G ( g G h ) )
2018, 19syl6eqr 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( g G h )  ->  (
f G t )  =  ( ( f G g ) G h ) )
2120eqeq2d 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( g G h )  ->  (
x  =  ( f G t )  <->  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
2221pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <-> 
( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
2322rexbii 2908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <->  E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
24 r19.41v 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <-> 
( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2523, 24bitr3i 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( (
f G g ) G h ) )  <-> 
( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2625rexbii 2908 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  (
t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( (
f G g ) G h ) )  <->  E. g  e.  B  ( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
27 r19.41v 2961 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  ( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <-> 
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2826, 27bitri 251 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  (
t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( (
f G g ) G h ) )  <-> 
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2928exbii 1690 . . . . . . 7  |-  ( E. t E. g  e.  B  E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  E. t
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
3016, 17, 293bitri 273 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
316, 7, 303bitr4g 290 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t )  <->  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
3231rexbidv 2920 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
33 genpass.5 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f F g )  e.  P. )
3433caovcl 6452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B F C )  e.  P. )
351, 2genpelv 9410 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B F C )  e.  P. )  -> 
( x  e.  ( A F ( B F C ) )  <->  E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t ) ) )
3634, 35sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )
)  ->  ( x  e.  ( A F ( B F C ) )  <->  E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t ) ) )
37363impb 1195 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( A F ( B F C ) )  <->  E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t ) ) )
3833caovcl 6452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  e.  P. )
391, 2genpelv 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( A F B )  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
4038, 39stoic3 1632 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
411, 2genpelv 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( t  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g ) ) )
42413adant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
t  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g ) ) )
4342anbi1d 705 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( t  e.  ( A F B )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) ) )
4443exbidv 1737 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t ( t  e.  ( A F B )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t
( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) ) )
45 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h )  <->  E. t
( t  e.  ( A F B )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
46 19.41v 1797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  ( E. t  t  =  (
f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
47 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f G g )  ->  (
t G h )  =  ( ( f G g ) G h ) )
4847eqeq2d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f G g )  ->  (
x  =  ( t G h )  <->  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
4948rexbidv 2920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( f G g )  ->  ( E. h  e.  C  x  =  ( t G h )  <->  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
5049pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
5150exbii 1690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t
( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
52 ovex 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f G g )  e. 
_V
5352isseti 3067 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. t 
t  =  ( f G g )
5453biantrur 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  ( E. t  t  =  (
f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
5546, 51, 543bitr4ri 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
5655rexbii 2908 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. g  e.  B  E. t
( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
57 rexcom4 3081 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  E. t ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
5856, 57bitri 251 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
5958rexbii 2908 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. f  e.  A  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
60 rexcom4 3081 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  A  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
61 r19.41vv 2963 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6261exbii 1690 . . . . . . 7  |-  ( E. t E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t
( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6359, 60, 623bitri 273 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6444, 45, 633bitr4g 290 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
6540, 64bitrd 255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
6632, 37, 653bitr4rd 288 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  x  e.  ( A F ( B F C ) ) ) )
6766eqrdv 2401 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) ) )
68 genpass.4 . . 3  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
69 0npr 9402 . . 3  |-  -.  (/)  e.  P.
7068, 69ndmovass 6446 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) ) )
7167, 70pm2.61i 166 1  |-  ( ( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844   {cab 2389   E.wrex 2757    X. cxp 4823   dom cdm 4825  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   Q.cnq 9262   P.cnp 9269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-ni 9282  df-nq 9322  df-np 9391
This theorem is referenced by:  addasspr  9432  mulasspr  9434
  Copyright terms: Public domain W3C validator