Theorem ge0xaddcl 11637

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xaddcl	|- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem ge0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxrge0 11632	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )
2		elxrge0 11632	. 2 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
3		xaddcl 11439	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
4	3	ad2ant2r 744	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5		xaddge0 11453	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )
6	5	an4s 824	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )
7		elxrge0 11632	. . 3 |- ( ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( A +e B ) e. RR* /\ 0 <_ ( A +e B ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 662	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9	1, 2, 8	syl2anb 477	1 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( A +e B ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   <_ cle 9618   +ecxad 11319   [,]cicc 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-xadd 11322  df-icc 11539

This theorem is referenced by:  xrge0subm  18654  comet  21182  stdbdxmet  21184  xrge0pluscn  28157  esumadd  28286  esumaddf  28290  esummulc1  28310