MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0p1rpd Structured version   Unicode version

Theorem ge0p1rpd 11203
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ge0p1rp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
ge0p1rpd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ge0p1rp.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ge0p1rp 11168 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    <_ cle 9540   RR+crp 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-rp 11140
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13350  o1rlimmul  13443  mertenslem1  13695  mertenslem2  13696  nlmvscnlem2  21279  nlmvscnlem1  21280  nghmcn  21337  cnheibor  21540  ipcnlem2  21769  ipcnlem1  21770  pjthlem1  21937  itg2const2  22233  itgulm  22888  abelthlem8  22919  loglesqrt  23219  logdiflbnd  23441  ftalem4  23466  logfacrlim  23616  dchrisumlem3  23793  pntrsumo1  23867  smcnlem  25724  pjhthlem1  26426  faclimlem1  29334  faclimlem3  29336  faclim  29337  iprodfac  29338  isbnd3  30446  totbndbnd  30451  rrntotbnd  30498  wallispilem4  32016  wallispi  32018  wallispi2lem1  32019  stirlinglem1  32022  stirlinglem4  32025  stirlinglem6  32027  stirlinglem10  32031  stirlinglem11  32032  stirlinglem12  32033  stirlinglem13  32034  fourierdlem30  32085  fourierdlem77  32132
  Copyright terms: Public domain W3C validator