MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0p1rpd Structured version   Unicode version

Theorem ge0p1rpd 11273
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ge0p1rp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
ge0p1rpd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ge0p1rp.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ge0p1rp 11239 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    <_ cle 9620   RR+crp 11211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-rp 11212
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13299  o1rlimmul  13392  mertenslem1  13647  mertenslem2  13648  nlmvscnlem2  20924  nlmvscnlem1  20925  nghmcn  20982  cnheibor  21185  ipcnlem2  21414  ipcnlem1  21415  pjthlem1  21582  itg2const2  21878  itgulm  22532  abelthlem8  22563  loglesqr  22855  logdiflbnd  23047  ftalem4  23072  logfacrlim  23222  dchrisumlem3  23399  pntrsumo1  23473  smcnlem  25271  pjhthlem1  25973  faclimlem1  28733  faclimlem3  28735  faclim  28736  iprodfac  28737  isbnd3  29872  totbndbnd  29877  rrntotbnd  29924  wallispilem4  31325  wallispi  31327  wallispi2lem1  31328  stirlinglem1  31331  stirlinglem4  31334  stirlinglem6  31336  stirlinglem10  31340  stirlinglem11  31341  stirlinglem12  31342  stirlinglem13  31343  fourierdlem30  31394
  Copyright terms: Public domain W3C validator