MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0p1rpd Structured version   Unicode version

Theorem ge0p1rpd 11041
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ge0p1rp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
ge0p1rpd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ge0p1rp.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ge0p1rp 11007 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    <_ cle 9407   RR+crp 10979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-rp 10980
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12987  o1rlimmul  13080  mertenslem1  13327  mertenslem2  13328  nlmvscnlem2  20108  nlmvscnlem1  20109  nghmcn  20166  cnheibor  20369  ipcnlem2  20598  ipcnlem1  20599  pjthlem1  20766  itg2const2  21061  itgulm  21758  abelthlem8  21789  loglesqr  22081  logdiflbnd  22273  ftalem4  22298  logfacrlim  22448  dchrisumlem3  22625  pntrsumo1  22699  smcnlem  23915  pjhthlem1  24617  faclimlem1  27396  faclimlem3  27398  faclim  27399  iprodfac  27400  isbnd3  28527  totbndbnd  28532  rrntotbnd  28579  wallispilem4  29709  wallispi  29711  wallispi2lem1  29712  stirlinglem1  29715  stirlinglem4  29718  stirlinglem6  29720  stirlinglem10  29724  stirlinglem11  29725  stirlinglem12  29726  stirlinglem13  29727
  Copyright terms: Public domain W3C validator