MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0p1rpd Structured version   Unicode version

Theorem ge0p1rpd 11074
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ge0p1rp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
ge0p1rpd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem ge0p1rpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ge0p1rp.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ge0p1rp 11040 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    <_ cle 9440   RR+crp 11012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-rp 11013
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13024  o1rlimmul  13117  mertenslem1  13365  mertenslem2  13366  nlmvscnlem2  20288  nlmvscnlem1  20289  nghmcn  20346  cnheibor  20549  ipcnlem2  20778  ipcnlem1  20779  pjthlem1  20946  itg2const2  21241  itgulm  21895  abelthlem8  21926  loglesqr  22218  logdiflbnd  22410  ftalem4  22435  logfacrlim  22585  dchrisumlem3  22762  pntrsumo1  22836  smcnlem  24114  pjhthlem1  24816  faclimlem1  27571  faclimlem3  27573  faclim  27574  iprodfac  27575  isbnd3  28709  totbndbnd  28714  rrntotbnd  28761  wallispilem4  29889  wallispi  29891  wallispi2lem1  29892  stirlinglem1  29895  stirlinglem4  29898  stirlinglem6  29900  stirlinglem10  29904  stirlinglem11  29905  stirlinglem12  29906  stirlinglem13  29907
  Copyright terms: Public domain W3C validator