MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0nemnf Structured version   Unicode version

Theorem ge0nemnf 11343
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0nemnf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem ge0nemnf
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 11342 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
2 ngtmnft 11337 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
32adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
43necon2abid 2655 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  ( -oo  <  A  <->  A  =/= -oo ) )
51, 4mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   class class class wbr 4392   0cc0 9440   -oocmnf 9574   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582
This theorem is referenced by:  xlesubadd  11424  xadddi2  11458  xrge0subm  18669  isxmet2d  21012  xmetrtri  21040  imasdsf1olem  21058  xblpnfps  21080  xblpnf  21081  xblss2ps  21086  xblss2  21087  nmoix  21418  nmoleub  21420  blcvx  21485  xrge0gsumle  21520  xrge0tsms  21521  metdstri  21537  metdscnlem  21541  nmoleub2lem  21779  xrge0addass  28011  xrge0tsmsd  28109
  Copyright terms: Public domain W3C validator