MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0nemnf Structured version   Unicode version

Theorem ge0nemnf 11259
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0nemnf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem ge0nemnf
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 11258 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
2 ngtmnft 11253 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
43necon2abid 2706 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  ( -oo  <  A  <->  A  =/= -oo ) )
51, 4mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   0cc0 9396   -oocmnf 9530   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538
This theorem is referenced by:  xlesubadd  11340  xadddi2  11374  xrge0subm  17982  isxmet2d  20037  xmetrtri  20065  imasdsf1olem  20083  xblpnfps  20105  xblpnf  20106  xblss2ps  20111  xblss2  20112  nmoix  20443  nmoleub  20445  blcvx  20510  xrge0gsumle  20545  xrge0tsms  20546  metdstri  20562  metdscnlem  20566  nmoleub2lem  20804  xrge0addass  26316  xrge0tsmsd  26418
  Copyright terms: Public domain W3C validator