MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0mulcl Structured version   Unicode version

Theorem ge0mulcl 11519
Description: The nonnegative reals are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ge0mulcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)

Proof of Theorem ge0mulcl
StepHypRef Expression
1 elrege0 11513 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 elrege0 11513 . 2  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
3 remulcl 9482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
43ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
5 mulge0 9972 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
6 elrege0 11513 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  x.  B
) ) )
74, 5, 6sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
81, 2, 7syl2anb 479 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397    x. cmul 9402   +oocpnf 9530    <_ cle 9534   [,)cico 11417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-ico 11421
This theorem is referenced by:  rge0srg  18017  itg2mulclem  21367  itg2mulc  21368
  Copyright terms: Public domain W3C validator