MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0gtmnf Structured version   Unicode version

Theorem ge0gtmnf 11245
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0gtmnf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )

Proof of Theorem ge0gtmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 11206 . 2  |- -oo  <  0
2 mnfxr 11195 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
3 0xr 9531 . . . 4  |-  0  e.  RR*
4 xrltletr 11232 . . . 4  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A ) )
52, 3, 4mp3an12 1305 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A ) )
65imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( -oo  <  0  /\  0  <_  A ) )  -> -oo  <  A )
71, 6mpanr1 683 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4390   0cc0 9383   -oocmnf 9517   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525
This theorem is referenced by:  ge0nemnf  11246  xrrege0  11247  pcgcd1  14045  pnfnei  18940  isnghm3  20420  ovolunnul  21099  radcnvle  22001  psercnlem1  22006
  Copyright terms: Public domain W3C validator