MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0div Structured version   Unicode version

Theorem ge0div 10302
Description: Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ge0div  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )

Proof of Theorem ge0div
StepHypRef Expression
1 0re 9492 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 lediv1 10300 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( 0  <_  A  <->  ( 0  /  B )  <_  ( A  /  B ) ) )
31, 2mp3an1 1302 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  /  B )  <_ 
( A  /  B
) ) )
433impb 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  /  B )  <_ 
( A  /  B
) ) )
5 gt0ne0 9910 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
6 recn 9478 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
7 div0 10128 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  /  B
)  =  0 )
86, 7sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  /  B
)  =  0 )
95, 8syldan 470 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
( 0  /  B
)  =  0 )
109breq1d 4405 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
( ( 0  /  B )  <_  ( A  /  B )  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
11103adant1 1006 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
( 0  /  B
)  <_  ( A  /  B )  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
124, 11bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388    < clt 9524    <_ cle 9525    / cdiv 10099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100
This theorem is referenced by:  divge0  10304  halfnneg2  10662  nn0ge0div  10817  ge0divd  11167  geoihalfsum  13455  odzdvds  13980  pcfaclem  14073  pockthlem  14079  dvge0  21606
  Copyright terms: Public domain W3C validator