MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchinf Structured version   Unicode version

Theorem gchinf 9033
Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchinf  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )

Proof of Theorem gchinf
StepHypRef Expression
1 gchcda1 9032 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
21ensymd 7564 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
3 isfin4-2 8692 . . . 4  |-  ( A  e. GCH  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
5 isfin4-3 8693 . . . 4  |-  ( A  e. FinIV  <-> 
A  ~<  ( A  +c  1o ) )
6 sdomnen 7542 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  +c  1o )  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
75, 6sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e. FinIV  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
84, 7syl6bir 229 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  om  ~<_  A  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) ) )
92, 8mt4d 138 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   omcom 6681   1oc1o 7121    ~~ cen 7511    ~<_ cdom 7512    ~< csdm 7513   Fincfn 7514    +c ccda 8545  FinIVcfin4 8658  GCHcgch 8996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-fin4 8665  df-gch 8997
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9044  gchxpidm  9045  gchina  9075
  Copyright terms: Public domain W3C validator