MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchinf Structured version   Unicode version

Theorem gchinf 8939
Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchinf  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )

Proof of Theorem gchinf
StepHypRef Expression
1 gchcda1 8938 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
21ensymd 7473 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
3 isfin4-2 8598 . . . 4  |-  ( A  e. GCH  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
5 isfin4-3 8599 . . . 4  |-  ( A  e. FinIV  <-> 
A  ~<  ( A  +c  1o ) )
6 sdomnen 7451 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  +c  1o )  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
75, 6sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e. FinIV  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
84, 7syl6bir 229 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  om  ~<_  A  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) ) )
92, 8mt4d 138 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   omcom 6589   1oc1o 7026    ~~ cen 7420    ~<_ cdom 7421    ~< csdm 7422   Fincfn 7423    +c ccda 8451  FinIVcfin4 8564  GCHcgch 8902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-fin4 8571  df-gch 8903
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  8950  gchxpidm  8951  gchina  8981
  Copyright terms: Public domain W3C validator