MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchinf Structured version   Unicode version

Theorem gchinf 9045
Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchinf  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )

Proof of Theorem gchinf
StepHypRef Expression
1 gchcda1 9044 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
21ensymd 7576 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
3 isfin4-2 8704 . . . 4  |-  ( A  e. GCH  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
5 isfin4-3 8705 . . . 4  |-  ( A  e. FinIV  <-> 
A  ~<  ( A  +c  1o ) )
6 sdomnen 7554 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  +c  1o )  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
75, 6sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e. FinIV  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
84, 7syl6bir 229 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  om  ~<_  A  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) ) )
92, 8mt4d 138 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4452  (class class class)co 6294   omcom 6694   1oc1o 7133    ~~ cen 7523    ~<_ cdom 7524    ~< csdm 7525   Fincfn 7526    +c ccda 8557  FinIVcfin4 8670  GCHcgch 9008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-fin4 8677  df-gch 9009
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9056  gchxpidm  9057  gchina  9087
  Copyright terms: Public domain W3C validator