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Theorem gchina 8201
Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchina  |-  (GCH  =  _V  ->  Inacc W  =  Inacc )

Proof of Theorem gchina
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  ->  x  e.  Inacc W )
2 idd 23 . . . . . . 7  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  x  =/=  (/) ) )
3 idd 23 . . . . . . 7  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( ( cf `  x
)  =  x  -> 
( cf `  x
)  =  x ) )
4 simpllr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  Inacc W )
5 pwfi 7035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
6 isfinite 7237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P y  e.  Fin  <->  ~P y  ~<  om )
7 winainf 8196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  om  C_  x
)
8 ssdomg 6793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( om  C_  x  ->  om  ~<_  x ) )
97, 8mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  om  ~<_  x )
10 sdomdomtr 6879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ~P y  ~<  om  /\  om  ~<_  x )  ->  ~P y  ~<  x )
1110expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om  ~<_  x  ->  ( ~P y  ~<  om  ->  ~P y  ~<  x ) )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( ~P y  ~<  om  ->  ~P y  ~<  x )
)
136, 12syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( ~P y  e.  Fin  ->  ~P y  ~<  x
) )
145, 13syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  (
y  e.  Fin  ->  ~P y  ~<  x )
)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ~P y  ~<  x )
)
1615a1dd 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x )
) )
17 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
18 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> GCH  =  _V )
1917, 18syl5eleqr 2340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
y  e. GCH )
20 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  ->  -.  y  e.  Fin )
21 gchinf 8159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e. GCH  /\  -.  y  e.  Fin )  ->  om  ~<_  y )
2219, 20, 21syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  y )
23 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2423, 18syl5eleqr 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
z  e. GCH )
25 gchpwdom 8176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  ~<_  y  /\  y  e. GCH  /\  z  e. GCH )  ->  ( y  ~<  z  <->  ~P y  ~<_  z ) )
2622, 19, 24, 25syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
( y  ~<  z  <->  ~P y  ~<_  z ) )
27 winacard 8194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( card `  x )  =  x )
28 iscard 7492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  x )  =  x  <->  ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  z  ~<  x ) )
2928simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  x )  =  x  ->  A. z  e.  x  z  ~<  x )
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  A. z  e.  x  z  ~<  x )
3130ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  ->  A. z  e.  x  z  ~<  x )
3231r19.21bi 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  z  ~<  x )
33 domsdomtr 6881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P y  ~<_  z  /\  z  ~<  x )  ->  ~P y  ~<  x )
3433expcom 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
~<  x  ->  ( ~P y  ~<_  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  ( ~P y  ~<_  z  ->  ~P y  ~<  x )
)
3635adantrr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
( ~P y  ~<_  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
3726, 36sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
( y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x
) )
3837expr 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  ( -.  y  e.  Fin  ->  ( y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x
) ) )
3916, 38pm2.61d 152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  (
y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
4039rexlimdva 2629 . . . . . . . 8  |-  ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  x  y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
4140ralimdva 2583 . . . . . . 7  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( A. y  e.  x  E. z  e.  x  y  ~<  z  ->  A. y  e.  x  ~P y  ~<  x ) )
422, 3, 413anim123d 1264 . . . . . 6  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( ( x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x
)  =  x  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  x  y  ~<  z )  ->  (
x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x )  =  x  /\  A. y  e.  x  ~P y  ~<  x ) ) )
43 elwina 8188 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc W  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x )  =  x  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  x  y  ~<  z
) )
44 elina 8189 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc 
<->  ( x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x )  =  x  /\  A. y  e.  x  ~P y  ~<  x ) )
4542, 43, 443imtr4g 263 . . . . 5  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( x  e.  Inacc W  ->  x  e.  Inacc ) )
461, 45mpd 16 . . . 4  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  ->  x  e.  Inacc )
4746ex 425 . . 3  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
Inacc W  ->  x  e. 
Inacc ) )
48 inawina 8192 . . 3  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  Inacc W )
4947, 48impbid1 196 . 2  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
Inacc W  <->  x  e.  Inacc ) )
5049eqrdv 2251 1  |-  (GCH  =  _V  ->  Inacc W  =  Inacc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   (/)c0 3362   ~Pcpw 3530   class class class wbr 3920   Oncon0 4285   omcom 4547   ` cfv 4592    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748   Fincfn 6749   cardccrd 7452   cfccf 7454  GCHcgch 8122   Inacc Wcwina 8184   Inacccina 8185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-seqom 6346  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-oexp 6371  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-har 7156  df-wdom 7157  df-cnf 7247  df-card 7456  df-cf 7458  df-cda 7678  df-fin4 7797  df-gch 8123  df-wina 8186  df-ina 8187
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