MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcda1 Structured version   Unicode version

Theorem gchcda1 9034
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcda1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )

Proof of Theorem gchcda1
StepHypRef Expression
1 1onn 7287 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  om )
3 cdadom3 8568 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  om )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
42, 3sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
6 nnfi 7709 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
71, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  Fin )
8 fidomtri2 8375 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
101, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  e.  Fin )
11 domfi 7740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  A  ~<_  1o )  ->  A  e.  Fin )
1211ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  Fin  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e. 
Fin ) )
1310, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e.  Fin ) )
149, 13sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  1o  ~<  A  ->  A  e.  Fin ) )
155, 14mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  ~<  A )
16 canthp1 9032 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
184, 17jca 532 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A ) )
19 gchen1 9003 . . 3  |-  ( ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A
) )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
2018, 19mpdan 668 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
2120ensymd 7565 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1802   ~Pcpw 3994   class class class wbr 4434  (class class class)co 6278   omcom 6682   1oc1o 7122    ~~ cen 7512    ~<_ cdom 7513    ~< csdm 7514   Fincfn 7515    +c ccda 8547  GCHcgch 8998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-gch 8999
This theorem is referenced by:  gchinf  9035  gchcdaidm  9046  gchpwdom  9048
  Copyright terms: Public domain W3C validator