MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcda1 Structured version   Unicode version

Theorem gchcda1 8821
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcda1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )

Proof of Theorem gchcda1
StepHypRef Expression
1 1onn 7076 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  om )
3 cdadom3 8355 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  om )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
42, 3sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
6 nnfi 7501 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
71, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  Fin )
8 fidomtri2 8162 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
101, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  e.  Fin )
11 domfi 7532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  A  ~<_  1o )  ->  A  e.  Fin )
1211ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  Fin  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e. 
Fin ) )
1310, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e.  Fin ) )
149, 13sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  1o  ~<  A  ->  A  e.  Fin ) )
155, 14mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  ~<  A )
16 canthp1 8819 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
184, 17jca 532 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A ) )
19 gchen1 8790 . . 3  |-  ( ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A
) )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
2018, 19mpdan 668 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
2120ensymd 7358 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   ~Pcpw 3858   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   omcom 6474   1oc1o 6911    ~~ cen 7305    ~<_ cdom 7306    ~< csdm 7307   Fincfn 7308    +c ccda 8334  GCHcgch 8785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-gch 8786
This theorem is referenced by:  gchinf  8822  gchcdaidm  8833  gchpwdom  8835
  Copyright terms: Public domain W3C validator