MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcda1 Structured version   Unicode version

Theorem gchcda1 9034
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcda1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )

Proof of Theorem gchcda1
StepHypRef Expression
1 1onn 7288 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  om )
3 cdadom3 8568 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  om )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
42, 3sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
6 nnfi 7710 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
71, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  Fin )
8 fidomtri2 8375 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
101, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  e.  Fin )
11 domfi 7741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  A  ~<_  1o )  ->  A  e.  Fin )
1211ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  Fin  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e. 
Fin ) )
1310, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e.  Fin ) )
149, 13sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  1o  ~<  A  ->  A  e.  Fin ) )
155, 14mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  ~<  A )
16 canthp1 9032 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
184, 17jca 532 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A ) )
19 gchen1 9003 . . 3  |-  ( ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A
) )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
2018, 19mpdan 668 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
2120ensymd 7566 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   omcom 6684   1oc1o 7123    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514    ~< csdm 7515   Fincfn 7516    +c ccda 8547  GCHcgch 8998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-gch 8999
This theorem is referenced by:  gchinf  9035  gchcdaidm  9046  gchpwdom  9048
  Copyright terms: Public domain W3C validator