MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchac Unicode version

Theorem gchac 8504
Description: The Generalized Continuum Hypothesis implies the Axiom of Choice. The original proof is due to Sierpiński (1947); we use a refinement of Sierpiński's result due to Specker. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchac  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)

Proof of Theorem gchac
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2 omex 7554 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
31, 2unex 4666 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  om )  e. 
_V
4 ssun2 3471 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  (
x  u.  om )
5 ssdomg 7112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  om )  e.  _V  ->  ( om  C_  ( x  u.  om )  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) ) )
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . . 8  |-  om  ~<_  ( x  u.  om )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) )
8 id 20 . . . . . . . 8  |-  (GCH  =  _V  -> GCH  =  _V )
93, 8syl5eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e. GCH )
103pwex 4342 . . . . . . . 8  |-  ~P (
x  u.  om )  e.  _V
1110, 8syl5eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )
12 gchacg 8503 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ~<_  ( x  u. 
om )  /\  (
x  u.  om )  e. GCH  /\  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )  ->  ~P (
x  u.  om )  e.  dom  card )
137, 9, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. 
dom  card )
143canth2 7219 . . . . . . 7  |-  ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u.  om )
15 sdomdom 7094 . . . . . . 7  |-  ( ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u. 
om )  ->  (
x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om )
17 numdom 7875 . . . . . 6  |-  ( ( ~P ( x  u. 
om )  e.  dom  card  /\  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u. 
om ) )  -> 
( x  u.  om )  e.  dom  card )
1813, 16, 17sylancl 644 . . . . 5  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e.  dom  card )
19 ssun1 3470 . . . . 5  |-  x  C_  ( x  u.  om )
20 ssnum 7876 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  om )  e.  dom  card  /\  x  C_  ( x  u.  om ) )  ->  x  e.  dom  card )
2118, 19, 20sylancl 644 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  dom  card )
221a1i 11 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  _V )
2321, 222thd 232 . . 3  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
dom  card  <->  x  e.  _V ) )
2423eqrdv 2402 . 2  |-  (GCH  =  _V  ->  dom  card  =  _V )
25 dfac10 7973 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2624, 25sylibr 204 1  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   omcom 4804   dom cdm 4837    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   cardccrd 7778  CHOICEwac 7952  GCHcgch 8451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-har 7482  df-wdom 7483  df-cnf 7573  df-card 7782  df-ac 7953  df-cda 8004  df-fin4 8123  df-gch 8452
  Copyright terms: Public domain W3C validator