Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gch2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gch2 9100
 Description: It is sufficient to require that all alephs are GCH-sets to ensure the full generalized continuum hypothesis. (The proof uses the Axiom of Regularity.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gch2 GCH GCH

Proof of Theorem gch2
StepHypRef Expression
1 ssv 3452 . . 3
2 sseq2 3454 . . 3 GCH GCH
31, 2mpbiri 237 . 2 GCH GCH
4 cardidm 8393 . . . . . . . 8
5 iscard3 8524 . . . . . . . 8
64, 5mpbi 212 . . . . . . 7
7 elun 3574 . . . . . . 7
86, 7mpbi 212 . . . . . 6
9 fingch 9048 . . . . . . . . 9 GCH
10 nnfi 7765 . . . . . . . . 9
119, 10sseldi 3430 . . . . . . . 8 GCH
1211a1i 11 . . . . . . 7 GCH GCH
13 ssel 3426 . . . . . . 7 GCH GCH
1412, 13jaod 382 . . . . . 6 GCH GCH
158, 14mpi 20 . . . . 5 GCH GCH
16 vex 3048 . . . . . . 7
17 alephon 8500 . . . . . . . . . . 11
18 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 GCH
19 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13 GCH GCH
20 alephfnon 8496 . . . . . . . . . . . . . 14
21 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . 14
2220, 18, 21sylancr 669 . . . . . . . . . . . . 13 GCH
2319, 22sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12 GCH GCH
24 suceloni 6640 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 GCH
26 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . 14
2720, 25, 26sylancr 669 . . . . . . . . . . . . 13 GCH
2819, 27sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12 GCH GCH
29 gchaleph2 9097 . . . . . . . . . . . 12 GCH GCH
3018, 23, 28, 29syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11 GCH
31 isnumi 8380 . . . . . . . . . . 11
3217, 30, 31sylancr 669 . . . . . . . . . 10 GCH
3332ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9 GCH
34 dfac12 8579 . . . . . . . . 9 CHOICE
3533, 34sylibr 216 . . . . . . . 8 GCH CHOICE
36 dfac10 8567 . . . . . . . 8 CHOICE
3735, 36sylib 200 . . . . . . 7 GCH
3816, 37syl5eleqr 2536 . . . . . 6 GCH
39 cardid2 8387 . . . . . 6
40 engch 9053 . . . . . 6 GCH GCH
4138, 39, 403syl 18 . . . . 5 GCH GCH GCH
4215, 41mpbid 214 . . . 4 GCH GCH
4316a1i 11 . . . 4 GCH
4442, 432thd 244 . . 3 GCH GCH
4544eqrdv 2449 . 2 GCH GCH
463, 45impbii 191 1 GCH GCH
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   cun 3402   wss 3404  cpw 3951   class class class wbr 4402   cdm 4834   crn 4835  con0 5423   csuc 5425   wfn 5577  cfv 5582  com 6692   cen 7566  cfn 7569  ccrd 8369  cale 8370  CHOICEwac 8546  GCHcgch 9045 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-seqom 7165  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-oexp 7188  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-har 8073  df-wdom 8074  df-cnf 8167  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373  df-aleph 8374  df-ac 8547  df-cda 8598  df-fin4 8717  df-gch 9046 This theorem is referenced by:  gch3  9101
 Copyright terms: Public domain W3C validator