Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdval Unicode version

Theorem gcdval 12963
 Description: The value of the operator. is the greatest common divisor of and . If and are both , the result is defined conventionally as . (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
gcdval
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem gcdval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2410 . . . 4
21anbi1d 686 . . 3
3 breq2 4176 . . . . . 6
43anbi1d 686 . . . . 5
54rabbidv 2908 . . . 4
65supeq1d 7409 . . 3
72, 6ifbieq2d 3719 . 2
8 eqeq1 2410 . . . 4
98anbi2d 685 . . 3
10 breq2 4176 . . . . . 6
1110anbi2d 685 . . . . 5
1211rabbidv 2908 . . . 4
1312supeq1d 7409 . . 3
149, 13ifbieq2d 3719 . 2
15 df-gcd 12962 . 2
16 c0ex 9041 . . 3
17 ltso 9112 . . . 4
1817supex 7424 . . 3
1916, 18ifex 3757 . 2
207, 14, 15, 19ovmpt2 6168 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  crab 2670  cif 3699   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040  csup 7403  cr 8945  cc0 8946   clt 9076  cz 10238   cdivides 12807   cgcd 12961 This theorem is referenced by:  gcd0val  12964  gcdn0val  12965  gcdf  12974  gcdcom  12975  gcdass  13000 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-mulcl 9008  ax-i2m1 9014  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-gcd 12962
 Copyright terms: Public domain W3C validator