MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gcdid 14507
Description: The gcd of a number and itself is its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdid  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )

Proof of Theorem gcdid
StepHypRef Expression
1 1z 10974 . . 3  |-  1  e.  ZZ
2 0z 10955 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 gcdaddm 14505 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  0 )  =  ( N  gcd  (
0  +  ( 1  x.  N ) ) ) )
41, 2, 3mp3an13 1357 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  0 )  =  ( N  gcd  (
0  +  ( 1  x.  N ) ) ) )
5 gcdid0 14500 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  0 )  =  ( abs `  N
) )
6 zcn 10949 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 mulid2 9646 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
1  x.  N )  =  N )
87oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( 0  +  N ) )
9 addid2 9821 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  N )  =  N )
108, 9eqtrd 2487 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  ( 1  x.  N ) )  =  N )
116, 10syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  +  ( 1  x.  N ) )  =  N )
1211oveq2d 6311 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  ( 0  +  ( 1  x.  N
) ) )  =  ( N  gcd  N
) )
134, 5, 123eqtr3rd 2496 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1446    e. wcel 1889   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549   ZZcz 10944   abscabs 13309    gcd cgcd 14480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-dvds 14318  df-gcd 14481
This theorem is referenced by:  6gcd4e2  14514  gcdmultiple  14530  lcmid  14586  lcmgcdeq  14589  3lcm2e6woprm  14592  phibndlem  14730  coprimeprodsq  14771  gcdabsorb  30400
  Copyright terms: Public domain W3C validator