Theorem gcdi 14421

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	|- K e. NN0
gcdi.2	|- R e. NN0
gcdi.3	|- N e. NN0
gcdi.5	|- ( N gcd R ) = G
gcdi.4	|- ( ( K x. N ) + R ) = M

Assertion

Ref	Expression
gcdi	|- ( M gcd N ) = G

Proof of Theorem gcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdi.1	. . . . . . 7 |- K e. NN0
2		gcdi.3	. . . . . . 7 |- N e. NN0
3	1, 2	nn0mulcli 10835	. . . . . 6 |- ( K x. N ) e. NN0
4	3	nn0cni 10808	. . . . 5 |- ( K x. N ) e. CC
5		gcdi.2	. . . . . 6 |- R e. NN0
6	5	nn0cni 10808	. . . . 5 |- R e. CC
7		gcdi.4	. . . . 5 |- ( ( K x. N ) + R ) = M
8	4, 6, 7	addcomli 9772	. . . 4 |- ( R + ( K x. N ) ) = M
9	8	oveq2i 6296	. . 3 |- ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) ) = ( N gcd M )
10	1	nn0zi 10890	. . . 4 |- K e. ZZ
11	2	nn0zi 10890	. . . 4 |- N e. ZZ
12	5	nn0zi 10890	. . . 4 |- R e. ZZ
13		gcdaddm 14029	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( N gcd R ) = ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) ) )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1324	. . 3 |- ( N gcd R ) = ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) )
15	1, 2, 5	numcl 10988	. . . . . 6 |- ( ( K x. N ) + R ) e. NN0
16	7, 15	eqeltrri 2552	. . . . 5 |- M e. NN0
17	16	nn0zi 10890	. . . 4 |- M e. ZZ
18		gcdcom 14020	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) = ( N gcd M ) )
19	17, 11, 18	mp2an 672	. . 3 |- ( M gcd N ) = ( N gcd M )
20	9, 14, 19	3eqtr4i 2506	. 2 |- ( N gcd R ) = ( M gcd N )
21		gcdi.5	. 2 |- ( N gcd R ) = G
22	20, 21	eqtr3i 2498	1 |- ( M gcd N ) = G

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767  (class class class)co 6285   + caddc 9496   x. cmul 9498   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   gcd cgcd 14006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-gcd 14007

This theorem is referenced by:  1259lem5  14478  2503lem3  14482  4001lem4  14487