Theorem gcdi 14571

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	|- K e. NN0
gcdi.2	|- R e. NN0
gcdi.3	|- N e. NN0
gcdi.5	|- ( N gcd R ) = G
gcdi.4	|- ( ( K x. N ) + R ) = M

Assertion

Ref	Expression
gcdi	|- ( M gcd N ) = G

Proof of Theorem gcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdi.1	. . . . . . 7 |- K e. NN0
2		gcdi.3	. . . . . . 7 |- N e. NN0
3	1, 2	nn0mulcli 10855	. . . . . 6 |- ( K x. N ) e. NN0
4	3	nn0cni 10828	. . . . 5 |- ( K x. N ) e. CC
5		gcdi.2	. . . . . 6 |- R e. NN0
6	5	nn0cni 10828	. . . . 5 |- R e. CC
7		gcdi.4	. . . . 5 |- ( ( K x. N ) + R ) = M
8	4, 6, 7	addcomli 9789	. . . 4 |- ( R + ( K x. N ) ) = M
9	8	oveq2i 6307	. . 3 |- ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) ) = ( N gcd M )
10	1	nn0zi 10910	. . . 4 |- K e. ZZ
11	2	nn0zi 10910	. . . 4 |- N e. ZZ
12	5	nn0zi 10910	. . . 4 |- R e. ZZ
13		gcdaddm 14179	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( N gcd R ) = ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) ) )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1324	. . 3 |- ( N gcd R ) = ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) )
15	1, 2, 5	numcl 11011	. . . . . 6 |- ( ( K x. N ) + R ) e. NN0
16	7, 15	eqeltrri 2542	. . . . 5 |- M e. NN0
17	16	nn0zi 10910	. . . 4 |- M e. ZZ
18		gcdcom 14170	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) = ( N gcd M ) )
19	17, 11, 18	mp2an 672	. . 3 |- ( M gcd N ) = ( N gcd M )
20	9, 14, 19	3eqtr4i 2496	. 2 |- ( N gcd R ) = ( M gcd N )
21		gcdi.5	. 2 |- ( N gcd R ) = G
22	20, 21	eqtr3i 2488	1 |- ( M gcd N ) = G

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 1819  (class class class)co 6296   + caddc 9512   x. cmul 9514   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   gcd cgcd 14156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157

This theorem is referenced by:  1259lem5  14629  2503lem3  14633  4001lem4  14638