Theorem gcdi 15045

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	|- K e. NN0
gcdi.2	|- R e. NN0
gcdi.3	|- N e. NN0
gcdi.5	|- ( N gcd R ) = G
gcdi.4	|- ( ( K x. N ) + R ) = M

Assertion

Ref	Expression
gcdi	|- ( M gcd N ) = G

Proof of Theorem gcdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdi.1	. . . . . . 7 |- K e. NN0
2		gcdi.3	. . . . . . 7 |- N e. NN0
3	1, 2	nn0mulcli 10908	. . . . . 6 |- ( K x. N ) e. NN0
4	3	nn0cni 10881	. . . . 5 |- ( K x. N ) e. CC
5		gcdi.2	. . . . . 6 |- R e. NN0
6	5	nn0cni 10881	. . . . 5 |- R e. CC
7		gcdi.4	. . . . 5 |- ( ( K x. N ) + R ) = M
8	4, 6, 7	addcomli 9825	. . . 4 |- ( R + ( K x. N ) ) = M
9	8	oveq2i 6301	. . 3 |- ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) ) = ( N gcd M )
10	1	nn0zi 10962	. . . 4 |- K e. ZZ
11	2	nn0zi 10962	. . . 4 |- N e. ZZ
12	5	nn0zi 10962	. . . 4 |- R e. ZZ
13		gcdaddm 14493	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( N gcd R ) = ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) ) )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1364	. . 3 |- ( N gcd R ) = ( N gcd ( R + ( K x. N ) ) )
15	1, 2, 5	numcl 11062	. . . . . 6 |- ( ( K x. N ) + R ) e. NN0
16	7, 15	eqeltrri 2526	. . . . 5 |- M e. NN0
17	16	nn0zi 10962	. . . 4 |- M e. ZZ
18		gcdcom 14484	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) = ( N gcd M ) )
19	17, 11, 18	mp2an 678	. . 3 |- ( M gcd N ) = ( N gcd M )
20	9, 14, 19	3eqtr4i 2483	. 2 |- ( N gcd R ) = ( M gcd N )
21		gcdi.5	. 2 |- ( N gcd R ) = G
22	20, 21	eqtr3i 2475	1 |- ( M gcd N ) = G

Syntax hints:   = wceq 1444   e. wcel 1887  (class class class)co 6290   + caddc 9542   x. cmul 9544   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   gcd cgcd 14468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469

This theorem is referenced by:  1259lem5  15106  2503lem3  15110  4001lem4  15115