Theorem gcdcllem3 13720

Description: Lemma for gcdn0cl 13721, gcddvds 13722 and dvdslegcd 13723.

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcllem2.1	|- S = {z e. ZZ | A.n e. {M, N}z||n}
gcdcllem2.2	|- R = {z e. ZZ | (z||M /\ z||N)}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem3	|- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (sup(R, RR, < ) e. NN /\ (sup(R, RR, < )||M /\ sup(R, RR, < )||N) /\ ((K e. ZZ /\ K||M /\ K||N) -> K <_ sup(R, RR, < ))))

Distinct variable groups:   z,K   n,M,z   n,N,z

Proof of Theorem gcdcllem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnz1 7364	. . 3 |- (sup(R, RR, < ) e. NN <-> (sup(R, RR, < ) e. ZZ /\ 1 <_ sup(R, RR, < )))
2		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = M -> (x e. ZZ <-> M e. ZZ))
3	2	biimprcd 173	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M e. ZZ -> (x = M -> x e. ZZ))
4		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = N -> (x e. ZZ <-> N e. ZZ))
5	4	biimprcd 173	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. ZZ -> (x = N -> x e. ZZ))
6	3, 5	jaao 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((x = M \/ x = N) -> x e. ZZ))
7		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
8	7	elpr 3061	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. {M, N} <-> (x = M \/ x = N))
9	6, 8	syl5ib 223	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (x e. {M, N} -> x e. ZZ))
10	9	19.21aiv 1664	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> A.x(x e. {M, N} -> x e. ZZ))
11		dfss2 2610	. . . . . . . . . 10 |- ({M, N} C_ ZZ <-> A.x(x e. {M, N} -> x e. ZZ))
12	10, 11	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> {M, N} C_ ZZ)
13	12	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> {M, N} C_ ZZ)
14		neeq1 2024	. . . . . . . . . . . . 13 |- (n = M -> (n =/= 0 <-> M =/= 0))
15	14	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. {M, N} /\ M =/= 0) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
16		prid1g 3104	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> M e. {M, N})
17	15, 16	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. ZZ /\ M =/= 0) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
18	17	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M =/= 0) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
19		neeq1 2024	. . . . . . . . . . . . 13 |- (n = N -> (n =/= 0 <-> N =/= 0))
20	19	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. {M, N} /\ N =/= 0) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
21		prid2g 3105	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. ZZ -> N e. {M, N})
22	20, 21	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. ZZ /\ N =/= 0) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
23	22	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ N =/= 0) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
24	18, 23	jaodan 471	. . . . . . . . 9 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (M =/= 0 \/ N =/= 0)) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
25		neorian 2098	. . . . . . . . 9 |- ((M =/= 0 \/ N =/= 0) <-> -. (M = 0 /\ N = 0))
26	24, 25	sylan2br 502	. . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> E.n e. {M, N}n =/= 0)
27		gcdcllem2.1	. . . . . . . . 9 |- S = {z e. ZZ | A.n e. {M, N}z||n}
28	27	gcdcllem1 13718	. . . . . . . 8 |- (({M, N} C_ ZZ /\ E.n e. {M, N}n =/= 0) -> (S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
29	13, 26, 28	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
30		gcdcllem2.2	. . . . . . . . . 10 |- R = {z e. ZZ | (z||M /\ z||N)}
31	27, 30	gcdcllem2 13719	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> R = S)
32		neeq1 2024	. . . . . . . . . 10 |- (R = S -> (R =/= (/) <-> S =/= (/)))
33		raleq 2266	. . . . . . . . . . 11 |- (R = S -> (A.y e. R y <_ x <-> A.y e. S y <_ x))
34	33	rexbidv 2124	. . . . . . . . . 10 |- (R = S -> (E.x e. RR A.y e. R y <_ x <-> E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
35	32, 34	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (R = S -> ((R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) <-> (S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)))
36	31, 35	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) <-> (S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)))
37	36	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> ((R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) <-> (S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)))
38	29, 37	mpbird 213	. . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x))
39		ssrab2 2692	. . . . . . . 8 |- {z e. ZZ | (z||M /\ z||N)} C_ ZZ
40	30, 39	eqsstri 2647	. . . . . . 7 |- R C_ ZZ
41		suprzcl 13658	. . . . . . 7 |- ((R C_ ZZ /\ R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) -> sup(R, RR, < ) e. R)
42	40, 41	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) -> sup(R, RR, < ) e. R)
43	38, 42	syl 12	. . . . 5 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> sup(R, RR, < ) e. R)
44		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (x = sup(R, RR, < ) -> (x||M <-> sup(R, RR, < )||M))
45		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (x = sup(R, RR, < ) -> (x||N <-> sup(R, RR, < )||N))
46	44, 45	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x = sup(R, RR, < ) -> ((x||M /\ x||N) <-> (sup(R, RR, < )||M /\ sup(R, RR, < )||N)))
47		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z||M <-> x||M))
48		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z||N <-> x||N))
49	47, 48	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (z = x -> ((z||M /\ z||N) <-> (x||M /\ x||N)))
50	49	cbvrabv 2422	. . . . . . 7 |- {z e. ZZ | (z||M /\ z||N)} = {x e. ZZ | (x||M /\ x||N)}
51	30, 50	eqtri 1908	. . . . . 6 |- R = {x e. ZZ | (x||M /\ x||N)}
52	46, 51	elrab2 2416	. . . . 5 |- (sup(R, RR, < ) e. R <-> (sup(R, RR, < ) e. ZZ /\ (sup(R, RR, < )||M /\ sup(R, RR, < )||N)))
53	43, 52	sylib 215	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (sup(R, RR, < ) e. ZZ /\ (sup(R, RR, < )||M /\ sup(R, RR, < )||N)))
54	53	simplld 348	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> sup(R, RR, < ) e. ZZ)
55		1dvds 13669	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> 1||M)
56		1dvds 13669	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> 1||N)
57	55, 56	anim12i 360	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (1||M /\ 1||N))
58		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (z = 1 -> (z||M <-> 1||M))
59		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (z = 1 -> (z||N <-> 1||N))
60	58, 59	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (z = 1 -> ((z||M /\ z||N) <-> (1||M /\ 1||N)))
61	60, 30	elrab2 2416	. . . . . . 7 |- (1 e. R <-> (1 e. ZZ /\ (1||M /\ 1||N)))
62		1z 7368	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
63	61, 62	mpbiran 798	. . . . . 6 |- (1 e. R <-> (1||M /\ 1||N))
64	57, 63	sylibr 217	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> 1 e. R)
65	64	adantr 425	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> 1 e. R)
66		zssre 7351	. . . . . . 7 |- ZZ C_ RR
67	40, 66	sstri 2626	. . . . . 6 |- R C_ RR
68		suprub 7265	. . . . . . 7 |- (((R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) /\ 1 e. R) -> 1 <_ sup(R, RR, < ))
69	68	ex 402	. . . . . 6 |- ((R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) -> (1 e. R -> 1 <_ sup(R, RR, < )))
70	67, 69	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) -> (1 e. R -> 1 <_ sup(R, RR, < )))
71	38, 70	syl 12	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (1 e. R -> 1 <_ sup(R, RR, < )))
72	65, 71	mpd 29	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> 1 <_ sup(R, RR, < ))
73	1, 54, 72	sylanbrc 527	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> sup(R, RR, < ) e. NN)
74	53	simprd 352	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (sup(R, RR, < )||M /\ sup(R, RR, < )||N))
75		suprub 7265	. . . . . 6 |- (((R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) /\ K e. R) -> K <_ sup(R, RR, < ))
76	75	ex 402	. . . . 5 |- ((R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) -> (K e. R -> K <_ sup(R, RR, < )))
77	67, 76	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((R =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. R y <_ x) -> (K e. R -> K <_ sup(R, RR, < )))
78	38, 77	syl 12	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (K e. R -> K <_ sup(R, RR, < )))
79		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (z = K -> (z||M <-> K||M))
80		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (z = K -> (z||N <-> K||N))
81	79, 80	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (z = K -> ((z||M /\ z||N) <-> (K||M /\ K||N)))
82	81, 30	elrab2 2416	. . . . 5 |- (K e. R <-> (K e. ZZ /\ (K||M /\ K||N)))
83	82	biimpri 169	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ (K||M /\ K||N)) -> K e. R)
84	83	3impb 1063	. . 3 |- ((K e. ZZ /\ K||M /\ K||N) -> K e. R)
85	78, 84	syl5 20	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> ((K e. ZZ /\ K||M /\ K||N) -> K <_ sup(R, RR, < )))
86	73, 74, 85	3jca 1050	1 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ -. (M = 0 /\ N = 0)) -> (sup(R, RR, < ) e. NN /\ (sup(R, RR, < )||M /\ sup(R, RR, < )||N) /\ ((K e. ZZ /\ K||M /\ K||N) -> K <_ sup(R, RR, < ))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {cpr 3045   class class class wbr 3338  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  ||cdivides 13662

This theorem is referenced by:  gcdn0cl 13721  gcddvds 13722  dvdslegcd 13723

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-divides 13663

Copyright terms: Public domain