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Theorem gcdcllem1 12966
Description: Lemma for gcdn0cl 12969, gcddvds 12970 and dvdslegcd 12971. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Distinct variable groups:    A, n, x, y, z    x, S
Allowed substitution hints:    S( y, z, n)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 ssel 3302 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ZZ ) )
3 1dvds 12819 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  ||  n )
42, 3syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  1  ||  n ) )
54ralrimiv 2748 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. n  e.  A  1  ||  n )
6 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  ||  n  <->  1  ||  n ) )
76ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
97, 8elrab2 3054 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
109biimpri 198 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1 
||  n )  -> 
1  e.  S )
111, 5, 10sylancr 645 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  1  e.  S )
12 ne0i 3594 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  S  =/=  (/) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  S  =/=  (/) )
15 neeq1 2575 . . . 4  |-  ( n  =  w  ->  (
n  =/=  0  <->  w  =/=  0 ) )
1615cbvrexv 2893 . . 3  |-  ( E. n  e.  A  n  =/=  0  <->  E. w  e.  A  w  =/=  0 )
17 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
z  ||  n  <->  y  ||  n ) )
1817ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
1918, 8elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
2019simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2120adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2219simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
24 dvdsleabs 12851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) )
25243expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
2623, 25sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2726anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2827com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2928ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
3029ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
3122, 30sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
32 r19.26 2798 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  <->  ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) ) )
33 pm3.35 571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3433ralimi 2741 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3532, 34sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  (
y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3621, 31, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3736ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. y  e.  S  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
38 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  w  ->  ( abs `  n )  =  ( abs `  w
) )
3938breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  w  ->  (
y  <_  ( abs `  n )  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4015, 39imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  w  ->  (
( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) ) )
4140cbvralv 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
4241ralbii 2690 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. y  e.  S  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
43 ralcom 2828 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. w  e.  A  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  A. y  e.  S  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
44 r19.21v 2753 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4544ralbii 2690 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  A  A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4642, 43, 453bitri 263 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4737, 46sylib 189 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
48 ssel2 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ )
49 nn0abscl 12072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5150nn0zd 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e.  ZZ )
52 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( y  <_  x  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
5352ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5453adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  /\  x  =  ( abs `  w ) )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5551, 54rspcedv 3016 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
5655imim2d 50 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x ) ) )
5756ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) ) )
5847, 57mpd 15 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
59 r19.23v 2782 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x )  <->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6058, 59sylib 189 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6160imp 419 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. w  e.  A  w  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6216, 61sylan2b 462 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6314, 62jca 519 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   0cc0 8946   1c1 8947    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   abscabs 11994    || cdivides 12807
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  12968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808
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