Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdass Unicode version

Theorem gcdass 13000
 Description: Associative law for operator. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdass

Proof of Theorem gcdass
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 631 . . 3
2 anass 631 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
43rabbiia 2906 . . . 4
54supeq1i 7410 . . 3
61, 5ifbieq2i 3718 . 2
7 gcdcl 12972 . . . . . 6
873adant3 977 . . . . 5
98nn0zd 10329 . . . 4
10 simp3 959 . . . 4
11 gcdval 12963 . . . 4
129, 10, 11syl2anc 643 . . 3
13 gcdeq0 12976 . . . . . . 7
14133adant3 977 . . . . . 6
1514anbi1d 686 . . . . 5
1615bicomd 193 . . . 4
17 simpr 448 . . . . . . . 8
18 simpl1 960 . . . . . . . 8
19 simpl2 961 . . . . . . . 8
20 dvdsgcdb 12999 . . . . . . . 8
2117, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . 7
2221anbi1d 686 . . . . . 6
2322rabbidva 2907 . . . . 5
2423supeq1d 7409 . . . 4
2516, 24ifbieq2d 3719 . . 3
2612, 25eqtr4d 2439 . 2
27 simp1 957 . . . 4
28 gcdcl 12972 . . . . . 6
29283adant1 975 . . . . 5
3029nn0zd 10329 . . . 4
31 gcdval 12963 . . . 4
3227, 30, 31syl2anc 643 . . 3
33 gcdeq0 12976 . . . . . . 7
34333adant1 975 . . . . . 6
3534anbi2d 685 . . . . 5
3635bicomd 193 . . . 4
37 simpl3 962 . . . . . . . 8
38 dvdsgcdb 12999 . . . . . . . 8
3917, 19, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . 7
4039anbi2d 685 . . . . . 6
4140rabbidva 2907 . . . . 5
4241supeq1d 7409 . . . 4
4336, 42ifbieq2d 3719 . . 3
4432, 43eqtr4d 2439 . 2
456, 26, 443eqtr4a 2462 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  crab 2670  cif 3699   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040  csup 7403  cr 8945  cc0 8946   clt 9076  cn0 10177  cz 10238   cdivides 12807   cgcd 12961 This theorem is referenced by:  rpmulgcd  13010  coprimeprodsq  13138  gcd32  25318  gcdabsorb  25319 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962
 Copyright terms: Public domain W3C validator