Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gboge7 Structured version   Unicode version

Theorem gboge7 38484
Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbo 38493, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboge7  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  7  <_  Z
)

Proof of Theorem gboge7
Dummy variables  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gbogt5 38483 . 2  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  5  <  Z
)
2 gbopos 38480 . . . 4  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  Z  e.  NN )
3 5nn 10766 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
43nnzi 10957 . . . . . 6  |-  5  e.  ZZ
5 nnz 10955 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  NN  ->  Z  e.  ZZ )
6 zltp1le 10982 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  Z  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  Z  <->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
74, 5, 6sylancr 667 . . . . 5  |-  ( Z  e.  NN  ->  (
5  <  Z  <->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
87biimpd 210 . . . 4  |-  ( Z  e.  NN  ->  (
5  <  Z  ->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
92, 8syl 17 . . 3  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 5  < 
Z  ->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
10 5p1e6 10733 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
1110breq1i 4424 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  <_  Z  <->  6  <_  Z )
12 6re 10686 . . . . . 6  |-  6  e.  RR
132nnred 10620 . . . . . 6  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  Z  e.  RR )
14 leloe 9716 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  RR  /\  Z  e.  RR )  ->  ( 6  <_  Z  <->  ( 6  <  Z  \/  6  =  Z )
) )
1512, 13, 14sylancr 667 . . . . 5  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  <_  Z 
<->  ( 6  <  Z  \/  6  =  Z
) ) )
1611, 15syl5bb 260 . . . 4  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( ( 5  +  1 )  <_  Z 
<->  ( 6  <  Z  \/  6  =  Z
) ) )
17 6nn 10767 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN
1817nnzi 10957 . . . . . . 7  |-  6  e.  ZZ
192nnzd 11035 . . . . . . 7  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  Z  e.  ZZ )
20 zltp1le 10982 . . . . . . . 8  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  Z  e.  ZZ )  ->  ( 6  <  Z  <->  ( 6  +  1 )  <_  Z ) )
2120biimpd 210 . . . . . . 7  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  Z  e.  ZZ )  ->  ( 6  <  Z  ->  ( 6  +  1 )  <_  Z )
)
2218, 19, 21sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  < 
Z  ->  ( 6  +  1 )  <_  Z ) )
23 6p1e7 10734 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
2423breq1i 4424 . . . . . 6  |-  ( ( 6  +  1 )  <_  Z  <->  7  <_  Z )
2522, 24syl6ib 229 . . . . 5  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  < 
Z  ->  7  <_  Z ) )
26 isgbo 38473 . . . . . 6  |-  ( Z  e. GoldbachOdd 
<->  ( Z  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  Z  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
27 eleq1 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  =  Z  ->  (
6  e. Odd  <->  Z  e. Odd  ) )
28 6even 38458 . . . . . . . . . 10  |-  6  e. Even
29 evennodd 38393 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  e. Even  ->  -.  6  e. Odd  )
30 pm2.21 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  6  e. Odd  ->  (
6  e. Odd  ->  7  <_  Z ) )
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  e. Odd  ->  7  <_  Z
)
3227, 31syl6bir 232 . . . . . . . 8  |-  ( 6  =  Z  ->  ( Z  e. Odd  ->  7  <_  Z ) )
3332com12 32 . . . . . . 7  |-  ( Z  e. Odd  ->  ( 6  =  Z  ->  7  <_  Z ) )
3433adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  Z  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  -> 
( 6  =  Z  ->  7  <_  Z
) )
3526, 34sylbi 198 . . . . 5  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  =  Z  ->  7  <_  Z ) )
3625, 35jaod 381 . . . 4  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( ( 6  <  Z  \/  6  =  Z )  -> 
7  <_  Z )
)
3716, 36sylbid 218 . . 3  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( ( 5  +  1 )  <_  Z  ->  7  <_  Z
) )
389, 37syld 45 . 2  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 5  < 
Z  ->  7  <_  Z ) )
391, 38mpd 15 1  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  7  <_  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   E.wrex 2774   class class class wbr 4417  (class class class)co 6297   RRcr 9534   1c1 9536    + caddc 9538    < clt 9671    <_ cle 9672   NNcn 10605   5c5 10658   6c6 10659   7c7 10660   ZZcz 10933   Primecprime 14600   Even ceven 38373   Odd codd 38374   GoldbachOdd cgbo 38467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-dvds 14284  df-prm 14601  df-even 38375  df-odd 38376  df-gbo 38470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator