Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gboge7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gboge7 38858
Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbo 38867, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboge7  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  7  <_  Z
)

Proof of Theorem gboge7
Dummy variables  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gbogt5 38857 . 2  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  5  <  Z
)
2 gbopos 38854 . . . 4  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  Z  e.  NN )
3 5nn 10767 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
43nnzi 10958 . . . . . 6  |-  5  e.  ZZ
5 nnz 10956 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  NN  ->  Z  e.  ZZ )
6 zltp1le 10983 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  Z  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  Z  <->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
74, 5, 6sylancr 668 . . . . 5  |-  ( Z  e.  NN  ->  (
5  <  Z  <->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
87biimpd 211 . . . 4  |-  ( Z  e.  NN  ->  (
5  <  Z  ->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
92, 8syl 17 . . 3  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 5  < 
Z  ->  ( 5  +  1 )  <_  Z ) )
10 5p1e6 10734 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
1110breq1i 4408 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  <_  Z  <->  6  <_  Z )
12 6re 10687 . . . . . 6  |-  6  e.  RR
132nnred 10621 . . . . . 6  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  Z  e.  RR )
14 leloe 9717 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  RR  /\  Z  e.  RR )  ->  ( 6  <_  Z  <->  ( 6  <  Z  \/  6  =  Z )
) )
1512, 13, 14sylancr 668 . . . . 5  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  <_  Z 
<->  ( 6  <  Z  \/  6  =  Z
) ) )
1611, 15syl5bb 261 . . . 4  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( ( 5  +  1 )  <_  Z 
<->  ( 6  <  Z  \/  6  =  Z
) ) )
17 6nn 10768 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN
1817nnzi 10958 . . . . . . 7  |-  6  e.  ZZ
192nnzd 11036 . . . . . . 7  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  Z  e.  ZZ )
20 zltp1le 10983 . . . . . . . 8  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  Z  e.  ZZ )  ->  ( 6  <  Z  <->  ( 6  +  1 )  <_  Z ) )
2120biimpd 211 . . . . . . 7  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  Z  e.  ZZ )  ->  ( 6  <  Z  ->  ( 6  +  1 )  <_  Z )
)
2218, 19, 21sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  < 
Z  ->  ( 6  +  1 )  <_  Z ) )
23 6p1e7 10735 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
2423breq1i 4408 . . . . . 6  |-  ( ( 6  +  1 )  <_  Z  <->  7  <_  Z )
2522, 24syl6ib 230 . . . . 5  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  < 
Z  ->  7  <_  Z ) )
26 isgbo 38847 . . . . . 6  |-  ( Z  e. GoldbachOdd 
<->  ( Z  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  Z  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
27 eleq1 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  =  Z  ->  (
6  e. Odd  <->  Z  e. Odd  ) )
28 6even 38832 . . . . . . . . . 10  |-  6  e. Even
29 evennodd 38767 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  e. Even  ->  -.  6  e. Odd  )
30 pm2.21 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  6  e. Odd  ->  (
6  e. Odd  ->  7  <_  Z ) )
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  e. Odd  ->  7  <_  Z
)
3227, 31syl6bir 233 . . . . . . . 8  |-  ( 6  =  Z  ->  ( Z  e. Odd  ->  7  <_  Z ) )
3332com12 32 . . . . . . 7  |-  ( Z  e. Odd  ->  ( 6  =  Z  ->  7  <_  Z ) )
3433adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  Z  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  -> 
( 6  =  Z  ->  7  <_  Z
) )
3526, 34sylbi 199 . . . . 5  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 6  =  Z  ->  7  <_  Z ) )
3625, 35jaod 382 . . . 4  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( ( 6  <  Z  \/  6  =  Z )  -> 
7  <_  Z )
)
3716, 36sylbid 219 . . 3  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( ( 5  +  1 )  <_  Z  ->  7  <_  Z
) )
389, 37syld 45 . 2  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  ( 5  < 
Z  ->  7  <_  Z ) )
391, 38mpd 15 1  |-  ( Z  e. GoldbachOdd  ->  7  <_  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   E.wrex 2737   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   RRcr 9535   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673   NNcn 10606   5c5 10659   6c6 10660   7c7 10661   ZZcz 10934   Primecprime 14615   Even ceven 38747   Odd codd 38748   GoldbachOdd cgbo 38841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-dvds 14299  df-prm 14616  df-even 38749  df-odd 38750  df-gbo 38844
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator