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Theorem gbegt5 38574
Description: Any even Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbegt5  |-  ( Z  e. GoldbachEven  ->  5  <  Z
)

Proof of Theorem gbegt5
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 38564 . 2  |-  ( Z  e. GoldbachEven 
<->  ( Z  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) ) ) )
2 oddprmuzge3 38553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  p  e. Odd  )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
32ancoms 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e. Odd  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
4 oddprmuzge3 38553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  q  e. Odd  )  ->  q  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
54ancoms 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e. Odd  /\  q  e.  Prime )  ->  q  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
6 eluz2 11166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ  /\  3  <_  p ) )
7 eluz2 11166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  3  <_ 
q ) )
8 zre 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  e.  ZZ  ->  q  e.  RR )
9 zre 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  ZZ  ->  p  e.  RR )
10 3re 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  3  e.  RR
1110, 10pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 3  e.  RR  /\  3  e.  RR )
12 pm3.22 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( p  e.  RR  /\  q  e.  RR ) )
13 le2add 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  3  e.  RR )  /\  ( p  e.  RR  /\  q  e.  RR ) )  -> 
( ( 3  <_  p  /\  3  <_  q
)  ->  ( 3  +  3 )  <_ 
( p  +  q ) ) )
1411, 12, 13sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( ( 3  <_  p  /\  3  <_  q
)  ->  ( 3  +  3 )  <_ 
( p  +  q ) ) )
1514ancomsd 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( ( 3  <_ 
q  /\  3  <_  p )  ->  ( 3  +  3 )  <_ 
( p  +  q ) ) )
16 3p3e6 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 3  +  3 )  =  6
1716breq1i 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 3  +  3 )  <_  ( p  +  q )  <->  6  <_  ( p  +  q ) )
18 5lt6 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  5  <  6
19 5re 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  5  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  5  e.  RR )
21 6re 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  6  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  6  e.  RR )
23 readdcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  RR  /\  q  e.  RR )  ->  ( p  +  q )  e.  RR )
2423ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( p  +  q )  e.  RR )
25 ltletr 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  6  e.  RR  /\  (
p  +  q )  e.  RR )  -> 
( ( 5  <  6  /\  6  <_ 
( p  +  q ) )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
2620, 22, 24, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( ( 5  <  6  /\  6  <_ 
( p  +  q ) )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
2718, 26mpani 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( 6  <_  (
p  +  q )  ->  5  <  (
p  +  q ) ) )
2817, 27syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( ( 3  +  3 )  <_  (
p  +  q )  ->  5  <  (
p  +  q ) ) )
2915, 28syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( q  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( ( 3  <_ 
q  /\  3  <_  p )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
308, 9, 29syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( 3  <_ 
q  /\  3  <_  p )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
3130ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ZZ  ->  ( ( 3  <_  q  /\  3  <_  p )  ->  5  <  (
p  +  q ) ) ) )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( p  e.  ZZ  ->  ( ( 3  <_ 
q  /\  3  <_  p )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) ) )
3332com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( ( 3  <_ 
q  /\  3  <_  p )  ->  ( p  e.  ZZ  ->  5  <  ( p  +  q ) ) ) )
3433exp4b 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
q  e.  ZZ  ->  ( 3  <_  q  ->  ( 3  <_  p  ->  ( p  e.  ZZ  ->  5  <  ( p  +  q ) ) ) ) ) )
35343imp 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  3  <_  q )  ->  (
3  <_  p  ->  ( p  e.  ZZ  ->  5  <  ( p  +  q ) ) ) )
3635com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ZZ  ->  (
3  <_  p  ->  ( ( 3  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  3  <_  q )  -> 
5  <  ( p  +  q ) ) ) )
3736imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  3  <_  p )  -> 
( ( 3  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  3  <_ 
q )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
38373adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ  /\  3  <_  p )  ->  (
( 3  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  3  <_  q )  -> 
5  <  ( p  +  q ) ) )
397, 38syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ  /\  3  <_  p )  ->  (
q  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
406, 39sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( q  e.  ( ZZ>= `  3 )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
4140imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  q  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  5  <  ( p  +  q ) )
423, 5, 41syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e. Odd  /\  p  e.  Prime )  /\  ( q  e. Odd  /\  q  e.  Prime ) )  ->  5  <  (
p  +  q ) )
4342an4s 833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  (
p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime ) )  -> 
5  <  ( p  +  q ) )
4443ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  ->  ( (
p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
45443adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) )  ->  ( (
p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime )  ->  5  <  ( p  +  q ) ) )
4645impcom 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
5  <  ( p  +  q ) )
47 breq2 4424 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( p  +  q )  ->  (
5  <  Z  <->  5  <  ( p  +  q ) ) )
48473ad2ant3 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) )  ->  ( 5  <  Z  <->  5  <  ( p  +  q ) ) )
4948adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
( 5  <  Z  <->  5  <  ( p  +  q ) ) )
5046, 49mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
5  <  Z )
5150ex 435 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) )  ->  5  <  Z ) )
5251a1i 11 . . . 4  |-  ( Z  e. Even  ->  ( ( p  e.  Prime  /\  q  e.  Prime )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) )  ->  5  <  Z ) ) )
5352rexlimdvv 2923 . . 3  |-  ( Z  e. Even  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) )  ->  5  <  Z ) )
5453imp 430 . 2  |-  ( ( Z  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  Z  =  ( p  +  q ) ) )  ->  5  <  Z
)
551, 54sylbi 198 1  |-  ( Z  e. GoldbachEven  ->  5  <  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   E.wrex 2776   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   RRcr 9539    + caddc 9543    < clt 9676    <_ cle 9677   3c3 10661   5c5 10663   6c6 10664   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   Primecprime 14610   Even ceven 38465   Odd codd 38466   GoldbachEven cgbe 38558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-dvds 14294  df-prm 14611  df-even 38467  df-odd 38468  df-gbe 38561
This theorem is referenced by:  gbege6  38578
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