Theorem gasubg 16466

Description: The restriction of a group action to a subgroup is a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gasubg.1	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gasubg	|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) )

Proof of Theorem gasubg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gaset 16457	. . 3 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> Y e. _V )
2		gasubg.1	. . . 4 |- H = ( G ↾s S )
3	2	subggrp 16330	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )
4	1, 3	anim12ci 567	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( H e. Grp /\ Y e. _V ) )
5		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6	5	gaf 16459	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
8		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
9	5	subgss 16328	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
11		xpss1 5120	. . . . . 6 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> ( S X. Y ) C_ ( ( Base ` G ) X. Y ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S X. Y ) C_ ( ( Base ` G ) X. Y ) )
13	7, 12	fssresd 5758	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( S X. Y ) --> Y )
14	2	subgbas 16331	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
15	8, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S = ( Base ` H ) )
16	15	xpeq1d 5031	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S X. Y ) = ( ( Base ` H ) X. Y ) )
17	16	feq2d 5724	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( S X. Y ) --> Y <-> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y ) )
18	13, 17	mpbid 210	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y )
19	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
20		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	20	subg0cl 16335	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
22	19, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( 0g ` G ) e. S )
23		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> x e. Y )
24		ovres 6441	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. S /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) )
26	2, 20	subg0 16333	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
27	19, 26	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
28	27	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) )
29	20	gagrpid 16458	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x )
30	29	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x )
31	25, 28, 30	3eqtr3d 2506	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x )
32		eqimss2 3552	. . . . . . . . . . 11 |- ( S = ( Base ` H ) -> ( Base ` H ) C_ S )
33	15, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( Base ` H ) C_ S )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( Base ` H ) C_ S )
35	34	sselda 3499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> y e. S )
36	34	sselda 3499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. ( Base ` H ) ) -> z e. S )
37	35, 36	anim12dan 837	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. ( Base ` H ) /\ z e. ( Base ` H ) ) ) -> ( y e. S /\ z e. S ) )
38		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
39	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
40	9	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
41		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
42	40, 41	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( Base ` G ) )
43	23	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> x e. Y )
44	39, 42, 43	fovrnd 6446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z .(+) x ) e. Y )
45		ovres 6441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. S /\ ( z .(+) x ) e. Y ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
46	38, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
47		ovres 6441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. S /\ x e. Y ) -> ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( z .(+) x ) )
48	41, 43, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( z .(+) x ) )
49	48	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) )
50		simplll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
51	40, 38	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
52		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
53	5, 52	gaass 16461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) /\ x e. Y ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
54	50, 51, 42, 43, 53	syl13anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
55	46, 49, 54	3eqtr4d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
56	52	subgcl 16337	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ y e. S /\ z e. S ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
57	56	3expb 1197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
58	19, 57	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
59		ovres 6441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ x e. Y ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
60	58, 43, 59	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
61	2, 52	ressplusg 14757	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
62	61	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
63	62	oveqd 6313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` H ) z ) )
64	63	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) )
65	55, 60, 64	3eqtr2rd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
66	37, 65	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. ( Base ` H ) /\ z e. ( Base ` H ) ) ) -> ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
67	66	ralrimivva 2878	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
68	31, 67	jca 532	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) )
69	68	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) )
70	18, 69	jca 532	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) ) )
71		eqid 2457	. . 3 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
72		eqid 2457	. . 3 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
73		eqid 2457	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
74	71, 72, 73	isga 16455	. 2 |- ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) <-> ( ( H e. Grp /\ Y e. _V ) /\ ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) ) ) )
75	4, 70, 74	sylanbrc 664	1 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   X. cxp 5006   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   ↾_s cress 14644   +g cplusg 14711   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179  SubGrpcsubg 16321   GrpAct cga 16453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-subg 16324  df-ga 16454

This theorem is referenced by:  sylow3lem5  16777