Theorem gasubg 16968

Description: The restriction of a group action to a subgroup is a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gasubg.1	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gasubg	|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) )

Proof of Theorem gasubg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gaset 16959	. . 3 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> Y e. _V )
2		gasubg.1	. . . 4 |- H = ( G ↾s S )
3	2	subggrp 16832	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )
4	1, 3	anim12ci 571	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( H e. Grp /\ Y e. _V ) )
5		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6	5	gaf 16961	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
7	6	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
8		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
9	5	subgss 16830	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
11		xpss1 4946	. . . . . 6 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> ( S X. Y ) C_ ( ( Base ` G ) X. Y ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S X. Y ) C_ ( ( Base ` G ) X. Y ) )
13	7, 12	fssresd 5755	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( S X. Y ) --> Y )
14	2	subgbas 16833	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
15	8, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> S = ( Base ` H ) )
16	15	xpeq1d 4860	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S X. Y ) = ( ( Base ` H ) X. Y ) )
17	16	feq2d 5720	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( S X. Y ) --> Y <-> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y ) )
18	13, 17	mpbid 214	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y )
19	8	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
20		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
21	20	subg0cl 16837	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( 0g ` G ) e. S )
23		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> x e. Y )
24		ovres 6441	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. S /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) )
26	2, 20	subg0 16835	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
27	19, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
28	27	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) )
29	20	gagrpid 16960	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x )
30	29	adantlr 722	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x )
31	25, 28, 30	3eqtr3d 2495	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x )
32		eqimss2 3487	. . . . . . . . . . 11 |- ( S = ( Base ` H ) -> ( Base ` H ) C_ S )
33	15, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( Base ` H ) C_ S )
34	33	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( Base ` H ) C_ S )
35	34	sselda 3434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> y e. S )
36	34	sselda 3434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. ( Base ` H ) ) -> z e. S )
37	35, 36	anim12dan 849	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. ( Base ` H ) /\ z e. ( Base ` H ) ) ) -> ( y e. S /\ z e. S ) )
38		simprl 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. S )
39	7	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> .(+) : ( ( Base ` G ) X. Y ) --> Y )
40	9	ad3antlr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
41		simprr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S )
42	40, 41	sseldd 3435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> z e. ( Base ` G ) )
43	23	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> x e. Y )
44	39, 42, 43	fovrnd 6446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z .(+) x ) e. Y )
45		ovres 6441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. S /\ ( z .(+) x ) e. Y ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
46	38, 44, 45	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
47		ovres 6441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. S /\ x e. Y ) -> ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( z .(+) x ) )
48	41, 43, 47	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( z .(+) x ) )
49	48	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z .(+) x ) ) )
50		simplll 769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
51	40, 38	sseldd 3435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
52		eqid 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
53	5, 52	gaass 16963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) /\ x e. Y ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
54	50, 51, 42, 43, 53	syl13anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) )
55	46, 49, 54	3eqtr4d 2497	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
56	52	subgcl 16839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ y e. S /\ z e. S ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
57	56	3expb 1210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
58	19, 57	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
59		ovres 6441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S /\ x e. Y ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
60	58, 43, 59	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) )
61	2, 52	ressplusg 15251	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
62	61	ad3antlr 738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
63	62	oveqd 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` H ) z ) )
64	63	oveq1d 6310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) )
65	55, 60, 64	3eqtr2rd 2494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
66	37, 65	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) /\ ( y e. ( Base ` H ) /\ z e. ( Base ` H ) ) ) -> ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
67	66	ralrimivva 2811	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) )
68	31, 67	jca 535	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) )
69	68	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) )
70	18, 69	jca 535	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) ) )
71		eqid 2453	. . 3 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
72		eqid 2453	. . 3 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
73		eqid 2453	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
74	71, 72, 73	isga 16957	. 2 |- ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) <-> ( ( H e. Grp /\ Y e. _V ) /\ ( ( .(+) |` ( S X. Y ) ) : ( ( Base ` H ) X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` H ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = x /\ A. y e. ( Base ` H ) A. z e. ( Base ` H ) ( ( y ( +g ` H ) z ) ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) = ( y ( .(+) |` ( S X. Y ) ) ( z ( .(+) |` ( S X. Y ) ) x ) ) ) ) ) )
75	4, 70, 74	sylanbrc 671	1 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( .(+) |` ( S X. Y ) ) e. ( H GrpAct Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   X. cxp 4835   |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   ↾_s cress 15134   +g cplusg 15202   0gc0g 15350   Grpcgrp 16681  SubGrpcsubg 16823   GrpAct cga 16955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-subg 16826  df-ga 16956

This theorem is referenced by:  sylow3lem5  17295