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Theorem gastacos 15930
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
Assertion
Ref Expression
gastacos  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, B    u, X    u, C
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . . . 7  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
31, 2gastacl 15929 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
5 subgrcl 15788 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
71subgss 15784 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  C_  X )
9 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
10 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
11 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
121, 9, 10, 11eqgval 15832 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
136, 8, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
14 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
)  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) )
1513, 14syl6bb 261 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
16 simpr 461 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X )
)
1716biantrurd 508 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
18 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
19 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
201, 9grpinvcl 15685 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
216, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
22 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
23 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  Y )
241, 10gaass 15917 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1221 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2625eqeq1d 2453 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( invg `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
271, 10grpcl 15653 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  X
)
286, 21, 22, 27syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X )
29 oveq1 6197 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A ) )
3029eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3130, 2elrab2 3216 . . . . 5  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  /\  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3231baib 896 . . . 4  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3328, 32syl 16 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A ) )
341gaf 15915 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3518, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3635, 22, 23fovrnd 6335 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C  .(+)  A )  e.  Y )
371, 9gacan 15925 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  ( C  .(+)  A )  e.  Y ) )  ->  ( ( B 
.(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3818, 19, 23, 36, 37syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3926, 33, 383bitr4d 285 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A ) ) )
4015, 17, 393bitr2d 281 1  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799    C_ wss 3426   class class class wbr 4390    X. cxp 4936   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   Grpcgrp 15512   invgcminusg 15513  SubGrpcsubg 15777   ~QG cqg 15779    GrpAct cga 15909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-subg 15780  df-eqg 15782  df-ga 15910
This theorem is referenced by:  orbstafun  15931  orbsta  15933
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