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Theorem gastacos 16138
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
Assertion
Ref Expression
gastacos  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, B    u, X    u, C
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . . . 7  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
31, 2gastacl 16137 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
5 subgrcl 15996 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
71subgss 15992 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  C_  X )
9 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
10 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
11 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
121, 9, 10, 11eqgval 16040 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
136, 8, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
14 df-3an 970 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
)  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) )
1513, 14syl6bb 261 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
16 simpr 461 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X )
)
1716biantrurd 508 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
18 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
19 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
201, 9grpinvcl 15891 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
216, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
22 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
23 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  Y )
241, 10gaass 16125 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1225 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2625eqeq1d 2464 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( invg `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
271, 10grpcl 15859 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  X
)
286, 21, 22, 27syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X )
29 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A ) )
3029eqeq1d 2464 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3130, 2elrab2 3258 . . . . 5  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  /\  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3231baib 898 . . . 4  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3328, 32syl 16 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A ) )
341gaf 16123 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3518, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3635, 22, 23fovrnd 6424 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C  .(+)  A )  e.  Y )
371, 9gacan 16133 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  ( C  .(+)  A )  e.  Y ) )  ->  ( ( B 
.(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3818, 19, 23, 36, 37syl13anc 1225 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3926, 33, 383bitr4d 285 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A ) ) )
4015, 17, 393bitr2d 281 1  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2813    C_ wss 3471   class class class wbr 4442    X. cxp 4992   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   Grpcgrp 15718   invgcminusg 15719  SubGrpcsubg 15985   ~QG cqg 15987    GrpAct cga 16117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-subg 15988  df-eqg 15990  df-ga 16118
This theorem is referenced by:  orbstafun  16139  orbsta  16141
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