MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gastacl Structured version   Unicode version

Theorem gastacl 16137
Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
Assertion
Ref Expression
gastacl  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, X
Allowed substitution hints:    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
2 ssrab2 3580 . . . 4  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  A )  =  A }  C_  X
31, 2eqsstri 3529 . . 3  |-  H  C_  X
43a1i 11 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  C_  X )
5 gagrp 16120 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
7 gasta.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
97, 8grpidcl 15874 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
118gagrpid 16122 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  A )  =  A )
12 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  A ) )
1312eqeq1d 2464 . . . . 5  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  A )  =  A ) )
1413, 1elrab2 3258 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  ( ( 0g `  G ) 
.(+)  A )  =  A ) )
1510, 11, 14sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  H )
16 ne0i 3786 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  ->  H  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  =/=  (/) )
18 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1918, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  H )
21 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( x  .(+)  A ) )
2221eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( x  .(+) 
A )  =  A ) )
2322, 1elrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  H  <->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2420, 23sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2524simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  X )
2625adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  x  e.  X )
27 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  H )
28 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( y  .(+)  A ) )
2928eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3029, 1elrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  <->  ( y  e.  X  /\  (
y  .(+)  A )  =  A ) )
3127, 30sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  e.  X  /\  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3231simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  X )
33 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
347, 33grpcl 15859 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  X )
3519, 26, 32, 34syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  X )
36 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  A  e.  Y )
377, 33gaass 16125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  ( x 
.(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3818, 26, 32, 36, 37syl13anc 1225 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  ( x  .(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3931simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  .(+)  A )  =  A )
4039oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  ( y  .(+)  A ) )  =  ( x  .(+)  A )
)
4124simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  .(+) 
A )  =  A )
4241adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  A )  =  A )
4338, 40, 423eqtrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  A )
44 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( x ( +g  `  G ) y )  .(+)  A ) )
4544eqeq1d 2464 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4645, 1elrab2 3258 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  H  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  X  /\  ( ( x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4735, 43, 46sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4847anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4948ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A. y  e.  H  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  H
)
50 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5150, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  G  e.  Grp )
52 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
537, 52grpinvcl 15891 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
5451, 25, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X )
55 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A  e.  Y )
567, 52gacan 16133 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( invg `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5750, 25, 55, 55, 56syl13anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( invg `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5841, 57mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A )
59 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( invg `  G ) `
 x )  -> 
( u  .(+)  A )  =  ( ( ( invg `  G
) `  x )  .(+)  A ) )
6059eqeq1d 2464 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( invg `  G ) `
 x )  -> 
( ( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( invg `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A ) )
6160, 1elrab2 3258 . . . . 5  |-  ( ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  H  <->  ( (
( invg `  G ) `  x
)  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x )  .(+)  A )  =  A ) )
6254, 58, 61sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  H )
6349, 62jca 532 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( invg `  G
) `  x )  e.  H ) )
6463ralrimiva 2873 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( invg `  G
) `  x )  e.  H ) )
657, 33, 52issubg2 16006 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
666, 65syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
674, 17, 64, 66mpbir3and 1174 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   {crab 2813    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   0gc0g 14686   Grpcgrp 15718   invgcminusg 15719  SubGrpcsubg 15985    GrpAct cga 16117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-subg 15988  df-ga 16118
This theorem is referenced by:  gastacos  16138  orbstafun  16139  orbstaval  16140  orbsta  16141  orbsta2  16142  sylow1lem5  16413
  Copyright terms: Public domain W3C validator