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Theorem gastacl 15820
Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
Assertion
Ref Expression
gastacl  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, X
Allowed substitution hints:    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
2 ssrab2 3434 . . . 4  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  A )  =  A }  C_  X
31, 2eqsstri 3383 . . 3  |-  H  C_  X
43a1i 11 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  C_  X )
5 gagrp 15803 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
65adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
7 gasta.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
97, 8grpidcl 15559 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
118gagrpid 15805 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  A )  =  A )
12 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  A ) )
1312eqeq1d 2449 . . . . 5  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  A )  =  A ) )
1413, 1elrab2 3116 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  ( ( 0g `  G ) 
.(+)  A )  =  A ) )
1510, 11, 14sylanbrc 659 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  H )
16 ne0i 3640 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  ->  H  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  =/=  (/) )
18 simpll 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1918, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  H )
21 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( x  .(+)  A ) )
2221eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( x  .(+) 
A )  =  A ) )
2322, 1elrab2 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  H  <->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2420, 23sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2524simpld 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  X )
2625adantrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  x  e.  X )
27 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  H )
28 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( y  .(+)  A ) )
2928eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3029, 1elrab2 3116 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  <->  ( y  e.  X  /\  (
y  .(+)  A )  =  A ) )
3127, 30sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  e.  X  /\  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3231simpld 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  X )
33 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
347, 33grpcl 15544 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  X )
3519, 26, 32, 34syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  X )
36 simplr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  A  e.  Y )
377, 33gaass 15808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  ( x 
.(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3818, 26, 32, 36, 37syl13anc 1215 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  ( x  .(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3931simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  .(+)  A )  =  A )
4039oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  ( y  .(+)  A ) )  =  ( x  .(+)  A )
)
4124simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  .(+) 
A )  =  A )
4241adantrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  A )  =  A )
4338, 40, 423eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  A )
44 oveq1 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( x ( +g  `  G ) y )  .(+)  A ) )
4544eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4645, 1elrab2 3116 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  H  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  X  /\  ( ( x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4735, 43, 46sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4847anassrs 643 . . . . 5  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4948ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A. y  e.  H  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  H
)
50 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5150, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  G  e.  Grp )
52 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
537, 52grpinvcl 15576 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  X )
5451, 25, 53syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  X )
55 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A  e.  Y )
567, 52gacan 15816 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( invg `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5750, 25, 55, 55, 56syl13anc 1215 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( invg `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5841, 57mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A )
59 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( invg `  G ) `
 x )  -> 
( u  .(+)  A )  =  ( ( ( invg `  G
) `  x )  .(+)  A ) )
6059eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( invg `  G ) `
 x )  -> 
( ( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( invg `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A ) )
6160, 1elrab2 3116 . . . . 5  |-  ( ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  H  <->  ( (
( invg `  G ) `  x
)  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 x )  .(+)  A )  =  A ) )
6254, 58, 61sylanbrc 659 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  H )
6349, 62jca 529 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( invg `  G
) `  x )  e.  H ) )
6463ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( invg `  G
) `  x )  e.  H ) )
657, 33, 52issubg2 15689 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
666, 65syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
674, 17, 64, 66mpbir3and 1166 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  SubGrpcsubg 15668    GrpAct cga 15800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-subg 15671  df-ga 15801
This theorem is referenced by:  gastacos  15821  orbstafun  15822  orbstaval  15823  orbsta  15824  orbsta2  15825  sylow1lem5  16094
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