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Theorem gass 15033
Description: A subset of a group action is a group action iff it is closed under the group action operation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gass.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gass  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+)  y )  e.  Z ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, X, y    x, Y, y    x,  .(+) , y    x, Z, y

Proof of Theorem gass
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6172 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Z )  ->  ( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  =  ( x  .(+)  y ) )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  =  ( x  .(+)  y ) )
3 gass.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
43gaf 15027 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  ->  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z ) --> Z )
54adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  ->  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) : ( X  X.  Z ) --> Z )
65fovrnda 6176 . . . 4  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  e.  Z )
72, 6eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x  .(+)  y )  e.  Z )
87ralrimivva 2758 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
9 gagrp 15024 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  G  e.  Grp )
11 gaset 15025 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
13 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  C_  Y )
1412, 13ssexd 4310 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  e.  _V )
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  Z  e.  _V )
1610, 15jca 519 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  _V ) )
173gaf 15027 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
1817ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
19 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  ->  .(+)  Fn  ( X  X.  Y ) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  Fn  ( X  X.  Y ) )
21 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  Z  C_  Y )
22 xpss2 4944 . . . . . . 7  |-  ( Z 
C_  Y  ->  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )
24 fnssres 5517 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  Fn  ( X  X.  Y )  /\  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
) )
2520, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
) )
26 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
271eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Z )  ->  ( ( x ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z  <->  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
) )
2827ralbidva 2682 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  Z  ( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  e.  Z  <->  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
) )
2928ralbiia 2698 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )
3026, 29sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z )
31 ffnov 6133 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  <->  ( (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z ) )
3225, 30, 31sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z )
33 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
343, 33grpidcl 14788 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
3510, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
36 ovres 6172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  ( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  ( ( 0g
`  G )  .(+)  z ) )
3735, 36sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( 0g `  G
)  .(+)  z ) )
3821sselda 3308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  z  e.  Y )
39 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
4033gagrpid 15026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4139, 40sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4238, 41syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4337, 42eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  z )
4439ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
45 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  u  e.  X )
46 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  v  e.  X )
4738adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  z  e.  Y )
48 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
493, 48gaass 15029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
5044, 45, 46, 47, 49syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
51 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  z  e.  Z )
52 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
53 proplem2 13869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Z
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  ->  ( v  .(+)  z )  e.  Z
)
5446, 51, 52, 53syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( v  .(+)  z )  e.  Z
)
55 ovres 6172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  X  /\  ( v  .(+)  z )  e.  Z )  -> 
( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) ( v 
.(+)  z ) )  =  ( u  .(+)  ( v  .(+)  z )
) )
5645, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v  .(+)  z )
)  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
5750, 56eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v  .(+)  z ) ) )
5810ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
593, 48grpcl 14773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X )
6058, 45, 46, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
( +g  `  G ) v )  e.  X
)
61 ovres 6172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z ) )
6260, 51, 61syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z ) )
63 ovres 6172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  ( v  .(+)  z ) )
6446, 51, 63syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( v
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( v 
.(+)  z ) )
6564oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z ) )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) ( v 
.(+)  z ) ) )
6657, 62, 653eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) )
6766ralrimivva 2758 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) )
6843, 67jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) )
6968ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. z  e.  Z  ( (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( ( u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) )
7032, 69jca 519 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  /\  A. z  e.  Z  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) ) )
713, 48, 33isga 15023 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Z  e.  _V )  /\  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  /\  A. z  e.  Z  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) ) ) )
7216, 70, 71sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )
738, 72impbida 806 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+)  y )  e.  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280    X. cxp 4835    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640    GrpAct cga 15021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-map 6979  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-ga 15022
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