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Theorem gass 15812
Description: A subset of a group action is a group action iff it is closed under the group action operation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gass.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gass  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+)  y )  e.  Z ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, X, y    x, Y, y    x,  .(+) , y    x, Z, y

Proof of Theorem gass
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6229 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Z )  ->  ( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  =  ( x  .(+)  y ) )
21adantl 463 . . . 4  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  =  ( x  .(+)  y ) )
3 gass.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
43gaf 15806 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  ->  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z ) --> Z )
54adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  ->  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) : ( X  X.  Z ) --> Z )
65fovrnda 6233 . . . 4  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  e.  Z )
72, 6eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x  .(+)  y )  e.  Z )
87ralrimivva 2806 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
9 gagrp 15803 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 720 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  G  e.  Grp )
11 gaset 15804 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
1211adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
13 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  C_  Y )
1412, 13ssexd 4436 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  e.  _V )
1514adantr 462 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  Z  e.  _V )
1610, 15jca 529 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  _V ) )
173gaf 15806 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
1817ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
19 ffn 5556 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  ->  .(+)  Fn  ( X  X.  Y ) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  Fn  ( X  X.  Y ) )
21 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  Z  C_  Y )
22 xpss2 4945 . . . . . . 7  |-  ( Z 
C_  Y  ->  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )
24 fnssres 5521 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  Fn  ( X  X.  Y )  /\  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
) )
2520, 23, 24syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
) )
26 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
271eleq1d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Z )  ->  ( ( x ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z  <->  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
) )
2827ralbidva 2729 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  Z  ( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  e.  Z  <->  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
) )
2928ralbiia 2745 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )
3026, 29sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z )
31 ffnov 6193 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  <->  ( (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z ) )
3225, 30, 31sylanbrc 659 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z )
33 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
343, 33grpidcl 15559 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
3510, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
36 ovres 6229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  ( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  ( ( 0g
`  G )  .(+)  z ) )
3735, 36sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( 0g `  G
)  .(+)  z ) )
3821sselda 3353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  z  e.  Y )
39 simpll 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
4033gagrpid 15805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4139, 40sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4238, 41syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4337, 42eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  z )
4439ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
45 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  u  e.  X )
46 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  v  e.  X )
4738adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  z  e.  Y )
48 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
493, 48gaass 15808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
5044, 45, 46, 47, 49syl13anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
51 simplr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  z  e.  Z )
52 simpllr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
53 proplem2 14623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Z
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  ->  ( v  .(+)  z )  e.  Z
)
5446, 51, 52, 53syl21anc 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( v  .(+)  z )  e.  Z
)
55 ovres 6229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  X  /\  ( v  .(+)  z )  e.  Z )  -> 
( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) ( v 
.(+)  z ) )  =  ( u  .(+)  ( v  .(+)  z )
) )
5645, 54, 55syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v  .(+)  z )
)  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
5750, 56eqtr4d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v  .(+)  z ) ) )
5810ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
593, 48grpcl 15544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X )
6058, 45, 46, 59syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
( +g  `  G ) v )  e.  X
)
61 ovres 6229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z ) )
6260, 51, 61syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z ) )
63 ovres 6229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  ( v  .(+)  z ) )
6446, 51, 63syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( v
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( v 
.(+)  z ) )
6564oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z ) )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) ( v 
.(+)  z ) ) )
6657, 62, 653eqtr4d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) )
6766ralrimivva 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) )
6843, 67jca 529 . . . . 5  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) )
6968ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. z  e.  Z  ( (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( ( u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) )
7032, 69jca 529 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  /\  A. z  e.  Z  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) ) )
713, 48, 33isga 15802 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Z  e.  _V )  /\  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  /\  A. z  e.  Z  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) ) ) )
7216, 70, 71sylanbrc 659 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )
738, 72impbida 823 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+)  y )  e.  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325    X. cxp 4834    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406    GrpAct cga 15800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-ga 15801
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