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Theorem gass 15834
Description: A subset of a group action is a group action iff it is closed under the group action operation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gass.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gass  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+)  y )  e.  Z ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, X, y    x, Y, y    x,  .(+) , y    x, Z, y

Proof of Theorem gass
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6245 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Z )  ->  ( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  =  ( x  .(+)  y ) )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  =  ( x  .(+)  y ) )
3 gass.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
43gaf 15828 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  ->  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z ) --> Z )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  ->  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) : ( X  X.  Z ) --> Z )
65fovrnda 6249 . . . 4  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  e.  Z )
72, 6eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Z ) )  -> 
( x  .(+)  y )  e.  Z )
87ralrimivva 2823 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
9 gagrp 15825 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  G  e.  Grp )
11 gaset 15826 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Y  e.  _V )
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  C_  Y )
1412, 13ssexd 4454 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  Z  e.  _V )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  Z  e.  _V )
1610, 15jca 532 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  _V ) )
173gaf 15828 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
19 ffn 5574 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  ->  .(+)  Fn  ( X  X.  Y ) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  Fn  ( X  X.  Y ) )
21 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  Z  C_  Y )
22 xpss2 4964 . . . . . . 7  |-  ( Z 
C_  Y  ->  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )
24 fnssres 5539 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  Fn  ( X  X.  Y )  /\  ( X  X.  Z )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
) )
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
) )
26 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
271eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Z )  ->  ( ( x ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z  <->  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
) )
2827ralbidva 2746 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  Z  ( x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) y )  e.  Z  <->  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
) )
2928ralbiia 2762 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )
3026, 29sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z )
31 ffnov 6209 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  <->  ( (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  Fn  ( X  X.  Z
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) y )  e.  Z ) )
3225, 30, 31sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
343, 33grpidcl 15581 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
3510, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
36 ovres 6245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  ( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  ( ( 0g
`  G )  .(+)  z ) )
3735, 36sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( 0g `  G
)  .(+)  z ) )
3821sselda 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  z  e.  Y )
39 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
4033gagrpid 15827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4139, 40sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4238, 41syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4337, 42eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  z )
4439ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
45 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  u  e.  X )
46 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  v  e.  X )
4738adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  z  e.  Y )
48 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
493, 48gaass 15830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
5044, 45, 46, 47, 49syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
51 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  z  e.  Z )
52 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)
53 proplem2 14642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Z
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  ->  ( v  .(+)  z )  e.  Z
)
5446, 51, 52, 53syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( v  .(+)  z )  e.  Z
)
55 ovres 6245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  X  /\  ( v  .(+)  z )  e.  Z )  -> 
( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) ( v 
.(+)  z ) )  =  ( u  .(+)  ( v  .(+)  z )
) )
5645, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v  .(+)  z )
)  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
5750, 56eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v  .(+)  z ) ) )
5810ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
593, 48grpcl 15566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X )
6058, 45, 46, 59syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
( +g  `  G ) v )  e.  X
)
61 ovres 6245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z ) )
6260, 51, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( ( u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z ) )
63 ovres 6245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Z )  ->  ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  ( v  .(+)  z ) )
6446, 51, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( v
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( v 
.(+)  z ) )
6564oveq2d 6122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z ) )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) ( v 
.(+)  z ) ) )
6657, 62, 653eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+) 
y )  e.  Z
)  /\  z  e.  Z )  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) )
6766ralrimivva 2823 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) )
6843, 67jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  /\  z  e.  Z )  ->  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) )
6968ralrimiva 2814 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  A. z  e.  Z  ( (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( ( u ( +g  `  G
) v ) ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) )
7032, 69jca 532 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  /\  A. z  e.  Z  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) ) )
713, 48, 33isga 15824 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Z  e.  _V )  /\  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) : ( X  X.  Z
) --> Z  /\  A. z  e.  Z  (
( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) z )  =  ( u (  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) ) ( v (  .(+)  |`  ( X  X.  Z
) ) z ) ) ) ) ) )
7216, 70, 71sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  (
x  .(+)  y )  e.  Z )  ->  (  .(+) 
|`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z ) )
738, 72impbida 828 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  Z  C_  Y )  ->  (
(  .(+)  |`  ( X  X.  Z ) )  e.  ( G  GrpAct  Z )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Z  ( x  .(+)  y )  e.  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   _Vcvv 2987    C_ wss 3343    X. cxp 4853    |` cres 4857    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   0gc0g 14393   Grpcgrp 15425    GrpAct cga 15822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-map 7231  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-grp 15560  df-ga 15823
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