Theorem gapmlem 9461

Description: Lemma for gapm 9462.

Hypotheses

Ref	Expression
gapmlem.1	|- X = ran G
gapmlem.2	|- Y = ran M
gapmlem.3	|- N = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
gapmlem	|- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (zMt /\ z(2nd |` ({A} X. _V))x)) -> ((N` A)Mt) = x)

Proof of Theorem gapmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4018	. . . . . 6 |- (z e. ({A} X. _V) <-> E.uE.v(z = <.u, v>. /\ (u e. {A} /\ v e. _V)))
2	1	biimpi 168	. . . . 5 |- (z e. ({A} X. _V) -> E.uE.v(z = <.u, v>. /\ (u e. {A} /\ v e. _V)))
3	2	ad2antll 443	. . . 4 |- ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> E.uE.v(z = <.u, v>. /\ (u e. {A} /\ v e. _V)))
4		simpl 346	. . . . . . . . . 10 |- ((u e. {A} /\ v e. _V) -> u e. {A})
5		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
6	5	jctr 315	. . . . . . . . . 10 |- (u e. {A} -> (u e. {A} /\ v e. _V))
7	4, 6	impbii 174	. . . . . . . . 9 |- ((u e. {A} /\ v e. _V) <-> u e. {A})
8		elsn 3058	. . . . . . . . 9 |- (u e. {A} <-> u = A)
9	7, 8	bitri 190	. . . . . . . 8 |- ((u e. {A} /\ v e. _V) <-> u = A)
10		opeq1 3158	. . . . . . . . . 10 |- (u = A -> <.u, v>. = <.A, v>.)
11	10	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (u = A -> (z = <.u, v>. <-> z = <.A, v>.))
12		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = <.A, v>. -> (zMt <-> <.A, v>.Mt))
13		opeq1 3158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = <.A, v>. -> <.z, x>. = <.<.A, v>., x>.)
14	13	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = <.A, v>. -> (<.z, x>. e. 2nd <-> <.<.A, v>., x>. e. 2nd))
15	12, 14	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = <.A, v>. -> ((zMt /\ <.z, x>. e. 2nd) <-> (<.A, v>.Mt /\ <.<.A, v>., x>. e. 2nd)))
16		gapmlem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- X = ran G
17		gapmlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Y = ran M
18	16, 17	gaf 9457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct) -> M:(X X. Y)-->Y)
19		fdm 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (M:(X X. Y)-->Y -> dom M = (X X. Y))
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct) -> dom M = (X X. Y))
21	20	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) -> dom M = (X X. Y))
22	21	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> dom M = (X X. Y))
23	22	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (<.A, v>. e. dom M <-> <.A, v>. e. (X X. Y)))
24	23	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (((AMv) = t /\ <.A, v>. e. dom M) <-> ((AMv) = t /\ <.A, v>. e. (X X. Y))))
25	24	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((((AMv) = t /\ <.A, v>. e. dom M) /\ v = x) <-> (((AMv) = t /\ <.A, v>. e. (X X. Y)) /\ v = x)))
26		simprll 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> (AMv) = t)
27		simpll1 915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> M e. B)
28		simpll2 916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> <.G, M>. e. GrpAct)
29		simpll3 917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> A e. X)
30		simprlr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> v e. Y)
31		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> t e. Y)
32		gapmlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- N = (inv` G)
33	16, 17, 32	gacan 9460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ (A e. X /\ v e. Y /\ t e. Y)) -> ((AMv) = t <-> ((N` A)Mt) = v))
34	27, 28, 29, 30, 31, 33	syl113anc 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> ((AMv) = t <-> ((N` A)Mt) = v))
35	26, 34	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> ((N` A)Mt) = v)
36		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> v = x)
37	35, 36	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x)) -> ((N` A)Mt) = x)
38	37	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((((AMv) = t /\ v e. Y) /\ v = x) -> ((N` A)Mt) = x))
39	5	opelxp 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (<.A, v>. e. (X X. Y) <-> (A e. X /\ v e. Y))
40	39	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (<.A, v>. e. (X X. Y) -> v e. Y)
41	40	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((AMv) = t /\ <.A, v>. e. (X X. Y)) -> ((AMv) = t /\ v e. Y))
42	38, 41	sylani 513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((((AMv) = t /\ <.A, v>. e. (X X. Y)) /\ v = x) -> ((N` A)Mt) = x))
43	25, 42	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((((AMv) = t /\ <.A, v>. e. dom M) /\ v = x) -> ((N` A)Mt) = x))
44		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (M:(X X. Y)-->Y -> Fun M)
45	18, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct) -> Fun M)
46	45	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) -> Fun M)
47	46	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> Fun M)
48		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- t e. _V
49	48	funbrfv 4709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Fun M -> (<.A, v>.Mt -> (M` <.A, v>.) = t))
50	47, 49	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (<.A, v>.Mt -> (M` <.A, v>.) = t))
51		df-opr 4886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (AMv) = (M` <.A, v>.)
52	51	eqeq1i 1891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((AMv) = t <-> (M` <.A, v>.) = t)
53	50, 52	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (<.A, v>.Mt -> (AMv) = t))
54		opex 3527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <.A, v>. e. _V
55	54	breldm 4161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (<.A, v>.Mt -> <.A, v>. e. dom M)
56	55	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (<.A, v>.Mt -> <.A, v>. e. dom M))
57	53, 56	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (<.A, v>.Mt -> ((AMv) = t /\ <.A, v>. e. dom M)))
58		op2ndg 5029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. X /\ v e. _V) -> (2nd` <.A, v>.) = v)
59	5, 58	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A e. X -> (2nd` <.A, v>.) = v)
60	59	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) -> (2nd` <.A, v>.) = v)
61	60	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (2nd` <.A, v>.) = v)
62	61	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((2nd` <.A, v>.) = x <-> v = x))
63		fo2nd 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2nd:_V-onto->_V
64		fofun 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2nd:_V-onto->_V -> Fun 2nd)
65		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
66	65	funopfv 4710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Fun 2nd -> (<.<.A, v>., x>. e. 2nd -> (2nd` <.A, v>.) = x))
67	64, 66	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (2nd:_V-onto->_V -> (<.<.A, v>., x>. e. 2nd -> (2nd` <.A, v>.) = x))
68	63, 67	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (<.<.A, v>., x>. e. 2nd -> (2nd` <.A, v>.) = x)
69	62, 68	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> (<.<.A, v>., x>. e. 2nd -> v = x))
70	43, 57, 69	syl2and 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((<.A, v>.Mt /\ <.<.A, v>., x>. e. 2nd) -> ((N` A)Mt) = x))
71	70	com12 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.A, v>.Mt /\ <.<.A, v>., x>. e. 2nd) -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x))
72	15, 71	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = <.A, v>. -> ((zMt /\ <.z, x>. e. 2nd) -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x)))
73	72	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- ((zMt /\ <.z, x>. e. 2nd) -> (z = <.A, v>. -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x)))
74	73	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> (z = <.A, v>. -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x)))
75	74	com12 14	. . . . . . . . 9 |- (z = <.A, v>. -> ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x)))
76	11, 75	syl6bi 231	. . . . . . . 8 |- (u = A -> (z = <.u, v>. -> ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x))))
77	9, 76	sylbi 216	. . . . . . 7 |- ((u e. {A} /\ v e. _V) -> (z = <.u, v>. -> ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x))))
78	77	impcom 378	. . . . . 6 |- ((z = <.u, v>. /\ (u e. {A} /\ v e. _V)) -> ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x)))
79	78	19.23aivv 1675	. . . . 5 |- (E.uE.v(z = <.u, v>. /\ (u e. {A} /\ v e. _V)) -> ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((N` A)Mt) = x)))
80	79	com13 37	. . . 4 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> (E.uE.v(z = <.u, v>. /\ (u e. {A} /\ v e. _V)) -> ((N` A)Mt) = x)))
81	3, 80	mpdi 59	. . 3 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))) -> ((N` A)Mt) = x))
82		df-br 3339	. . . . 5 |- (z(2nd |` ({A} X. _V))x <-> <.z, x>. e. (2nd |` ({A} X. _V)))
83	65	opelres 4222	. . . . 5 |- (<.z, x>. e. (2nd |` ({A} X. _V)) <-> (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V)))
84	82, 83	bitri 190	. . . 4 |- (z(2nd |` ({A} X. _V))x <-> (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V)))
85	84	anbi2i 538	. . 3 |- ((zMt /\ z(2nd |` ({A} X. _V))x) <-> (zMt /\ (<.z, x>. e. 2nd /\ z e. ({A} X. _V))))
86	81, 85	syl5ib 223	. 2 |- (((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) -> ((zMt /\ z(2nd |` ({A} X. _V))x) -> ((N` A)Mt) = x))
87	86	imp 377	1 |- ((((M e. B /\ <.G, M>. e. GrpAct /\ A e. X) /\ t e. Y) /\ (zMt /\ z(2nd |` ({A} X. _V))x)) -> ((N` A)Mt) = x)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  Fun wfun 3992  -->wf 3994  -onto->wfo 3996  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  2ndc2nd 5019  invcgn 9313  GrpActcga 9447

This theorem is referenced by:  gapm 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-2nd 5021  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-ga 9448

Copyright terms: Public domain