Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gaorber Structured version   Unicode version

Theorem gaorber 16218
 Description: The orbit equivalence relation is an equivalence relation on the target set of the group action. (Contributed by NM, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaorb.1
gaorber.2
Assertion
Ref Expression
gaorber
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   ()

Proof of Theorem gaorber
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaorb.1 . . . 4
21relopabi 5134 . . 3
32a1i 11 . 2
4 simpr 461 . . . . 5
51gaorb 16217 . . . . 5
64, 5sylib 196 . . . 4
76simp2d 1009 . . 3
86simp1d 1008 . . 3
96simp3d 1010 . . . 4
10 simpll 753 . . . . . . 7
11 simpr 461 . . . . . . 7
128adantr 465 . . . . . . 7
137adantr 465 . . . . . . 7
14 gaorber.2 . . . . . . . 8
15 eqid 2467 . . . . . . . 8
1614, 15gacan 16215 . . . . . . 7
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1230 . . . . . 6
18 gagrp 16202 . . . . . . . . 9
1918adantr 465 . . . . . . . 8
2014, 15grpinvcl 15967 . . . . . . . 8
2119, 20sylan 471 . . . . . . 7
22 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
2322eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9
2423rspcev 3219 . . . . . . . 8
2524ex 434 . . . . . . 7
2621, 25syl 16 . . . . . 6
2717, 26sylbid 215 . . . . 5
2827rexlimdva 2959 . . . 4
299, 28mpd 15 . . 3
301gaorb 16217 . . 3
317, 8, 29, 30syl3anbrc 1180 . 2
328adantrr 716 . . 3
33 simprr 756 . . . . 5
341gaorb 16217 . . . . 5
3533, 34sylib 196 . . . 4
3635simp2d 1009 . . 3
379adantrr 716 . . . 4
3835simp3d 1010 . . . 4
39 reeanv 3034 . . . . 5
4018ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
41 simprlr 762 . . . . . . . . 9
42 simprll 761 . . . . . . . . 9
43 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
4414, 43grpcl 15935 . . . . . . . . 9
4540, 41, 42, 44syl3anc 1228 . . . . . . . 8
46 simpll 753 . . . . . . . . . 10
4732adantr 465 . . . . . . . . . 10
4814, 43gaass 16207 . . . . . . . . . 10
4946, 41, 42, 47, 48syl13anc 1230 . . . . . . . . 9
50 simprrl 763 . . . . . . . . . 10
5150oveq2d 6311 . . . . . . . . 9
52 simprrr 764 . . . . . . . . 9
5349, 51, 523eqtrd 2512 . . . . . . . 8
54 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
5554eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9
5655rspcev 3219 . . . . . . . 8
5745, 53, 56syl2anc 661 . . . . . . 7
5857expr 615 . . . . . 6
5958rexlimdvva 2966 . . . . 5
6039, 59syl5bir 218 . . . 4
6137, 38, 60mp2and 679 . . 3
621gaorb 16217 . . 3
6332, 36, 61, 62syl3anbrc 1180 . 2
6418adantr 465 . . . . . . . 8
65 eqid 2467 . . . . . . . . 9
6614, 65grpidcl 15950 . . . . . . . 8
6764, 66syl 16 . . . . . . 7
6865gagrpid 16204 . . . . . . 7
69 oveq1 6302 . . . . . . . . 9
7069eqeq1d 2469 . . . . . . . 8
7170rspcev 3219 . . . . . . 7
7267, 68, 71syl2anc 661 . . . . . 6
7372ex 434 . . . . 5
7473pm4.71rd 635 . . . 4
75 df-3an 975 . . . . 5
76 anidm 644 . . . . . 6
7776anbi2ci 696 . . . . 5
7875, 77bitri 249 . . . 4
7974, 78syl6bbr 263 . . 3
801gaorb 16217 . . 3
8179, 80syl6bbr 263 . 2
823, 31, 63, 81iserd 7349 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818   wss 3481  cpr 4035   class class class wbr 4453  copab 4510   wrel 5010  cfv 5594  (class class class)co 6295   wer 7320  cbs 14507   cplusg 14572  c0g 14712  cgrp 15925  cminusg 15926   cga 16199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-map 7434  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-ga 16200 This theorem is referenced by:  sylow1lem3  16493  sylow1lem5  16495  sylow2alem1  16510  sylow2alem2  16511  sylow2a  16512  sylow3lem3  16522
 Copyright terms: Public domain W3C validator