MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gaorber Structured version   Unicode version

Theorem gaorber 15819
Description: The orbit equivalence relation is an equivalence relation on the target set of the group action. (Contributed by NM, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaorb.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
gaorber.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gaorber  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Distinct variable groups:    x, g,
y,  .(+)    g, X, x, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, g)    G( x, y, g)    Y( g)

Proof of Theorem gaorber
Dummy variables  h  f  k  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaorb.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
21relopabi 4961 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 11 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Rel  .~  )
4 simpr 458 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  .~  v )
51gaorb 15818 . . . . 5  |-  ( u  .~  v  <->  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v ) )
64, 5sylib 196 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v ) )
76simp2d 996 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  e.  Y )
86simp1d 995 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  e.  Y )
96simp3d 997 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v )
10 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
11 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  h  e.  X )
128adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  u  e.  Y )
137adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  v  e.  Y )
14 gaorber.2 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
15 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1614, 15gacan 15816 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( (
h  .(+)  u )  =  v  <->  ( ( ( invg `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1215 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  <->  ( (
( invg `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
18 gagrp 15803 . . . . . . . . 9  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
1918adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  G  e.  Grp )
2014, 15grpinvcl 15576 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  h  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  h
)  e.  X )
2119, 20sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  h
)  e.  X )
22 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( invg `  G ) `
 h )  -> 
( k  .(+)  v )  =  ( ( ( invg `  G
) `  h )  .(+)  v ) )
2322eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( invg `  G ) `
 h )  -> 
( ( k  .(+)  v )  =  u  <->  ( (
( invg `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
2423rspcev 3070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  h
)  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 h )  .(+)  v )  =  u )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
2524ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invg `  G ) `  h
)  e.  X  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2621, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( ( ( invg `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2717, 26sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2827rexlimdva 2839 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
299, 28mpd 15 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
301gaorb 15818 . . 3  |-  ( v  .~  u  <->  ( v  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
317, 8, 29, 30syl3anbrc 1167 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  .~  u )
328adantrr 711 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  e.  Y
)
33 simprr 751 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  v  .~  w
)
341gaorb 15818 . . . . 5  |-  ( v  .~  w  <->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3533, 34sylib 196 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3635simp2d 996 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  w  e.  Y
)
379adantrr 711 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v )
3835simp3d 997 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )
39 reeanv 2886 . . . . 5  |-  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
4018ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  G  e.  Grp )
41 simprlr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  k  e.  X
)
42 simprll 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  h  e.  X
)
43 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4414, 43grpcl 15544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  X  /\  h  e.  X )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X )
4540, 41, 42, 44syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X
)
46 simpll 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  .(+)  e.  ( G 
GrpAct  Y ) )
4732adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  u  e.  Y
)
4814, 43gaass 15808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  u  e.  Y )
)  ->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
4946, 41, 42, 47, 48syl13anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
50 simprrl 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( h  .(+)  u )  =  v )
5150oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  ( h  .(+)  u )
)  =  ( k 
.(+)  v ) )
52 simprrr 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  v )  =  w )
5349, 51, 523eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w )
54 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
f  .(+)  u )  =  ( ( k ( +g  `  G ) h )  .(+)  u ) )
5554eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
( f  .(+)  u )  =  w  <->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w ) )
5655rspcev 3070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X  /\  (
( k ( +g  `  G ) h ) 
.(+)  u )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5745, 53, 56syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5857expr 612 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
h  e.  X  /\  k  e.  X )
)  ->  ( (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
5958rexlimdvva 2846 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6039, 59syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6137, 38, 60mp2and 674 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
621gaorb 15818 . . 3  |-  ( u  .~  w  <->  ( u  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6332, 36, 61, 62syl3anbrc 1167 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  .~  w
)
6418adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
65 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6614, 65grpidcl 15559 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6764, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6865gagrpid 15805 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  u )  =  u )
69 oveq1 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  u ) )
7069eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u ) )
7170rspcev 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )
7267, 68, 71syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )
7372ex 434 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
7473pm4.71rd 630 . . . 4  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) ) )
75 df-3an 962 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( (
u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u ) )
76 anidm 639 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  Y )
7776anbi2ci 691 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) )
7875, 77bitri 249 . . . 4  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u  /\  u  e.  Y ) )
7974, 78syl6bbr 263 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) ) )
801gaorb 15818 . . 3  |-  ( u  .~  u  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
8179, 80syl6bbr 263 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  u  .~  u
) )
823, 31, 63, 81iserd 7123 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714    C_ wss 3325   {cpr 3876   class class class wbr 4289   {copab 4346   Rel wrel 4841   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    Er wer 7094   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407    GrpAct cga 15800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-map 7212  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-ga 15801
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  16092  sylow1lem5  16094  sylow2alem1  16109  sylow2alem2  16110  sylow2a  16111  sylow3lem3  16121
  Copyright terms: Public domain W3C validator