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Theorem galactghm 16028
Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group  G and the symmetric group  ( SymGrp `  Y
). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
galactghm.h  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
galactghm.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
galactghm  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .(+) , y    x, X, y    x, H    x, Y, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    H( y)

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
3 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
5 gagrp 15930 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
6 gaset 15931 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
7 galactghm.h . . . 4  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
87symggrp 16025 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  H  e.  Grp )
96, 8syl 16 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  H  e.  Grp )
10 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )
111, 10gapm 15944 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
) : Y -1-1-onto-> Y )
126adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
137, 2elsymgbas 16007 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1511, 14mpbird 232 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  e.  ( Base `  H ) )
16 galactghm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
1715, 16fmptd 5977 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F : X --> ( Base `  H )
)
18 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )  <->  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )
191, 3gaass 15935 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( (
z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y )  =  ( z 
.(+)  ( w  .(+)  y ) ) )
2018, 19sylan2br 476 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+)  y )
) )
2120anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w 
.(+)  y ) ) )
2221mpteq2dva 4487 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
235adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
24 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  z  e.  X )
25 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  w  e.  X )
261, 3grpcl 15671 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z
( +g  `  G ) w )  e.  X
)
286adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  Y  e.  _V )
29 mptexg 6057 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  e.  _V )
31 oveq1 6208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y ) )
3231mpteq2dv 4488 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3332, 16fvmptg 5882 . . . 4  |-  ( ( ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X  /\  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )  -> 
( F `  (
z ( +g  `  G
) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3427, 30, 33syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3517adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
3635, 24ffvelrnd 5954 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  e.  (
Base `  H )
)
3735, 25ffvelrnd 5954 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  e.  (
Base `  H )
)
387, 2, 4symgov 16015 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( Base `  H )  /\  ( F `  w )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( F `  z
) ( +g  `  H
) ( F `  w ) )  =  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w )
) )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( ( F `  z
)  o.  ( F `
 w ) ) )
401gaf 15933 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4140ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4225adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  w  e.  X )
43 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
4441, 42, 43fovrnd 6346 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
w  .(+)  y )  e.  Y )
45 mptexg 6057 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
)  e.  _V )
4628, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) )  e.  _V )
47 oveq1 6208 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( w  .(+)  y ) )
4847mpteq2dv 4488 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
4948, 16fvmptg 5882 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  w
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
5025, 46, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  =  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
) )
51 mptexg 6057 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
)  e.  _V )
5228, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  e.  _V )
53 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  y ) )
5453mpteq2dv 4488 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5554, 16fvmptg 5882 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  z
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5624, 52, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
) )
57 oveq2 6209 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
z  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  x ) )
5857cbvmptv 4492 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x ) )
5956, 58syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x )
) )
60 oveq2 6209 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  .(+)  y )  ->  ( z  .(+)  x )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) )
6144, 50, 59, 60fmptco 5986 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6239, 61eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6322, 34, 623eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( ( F `  z ) ( +g  `  H
) ( F `  w ) ) )
641, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63isghmd 15876 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    |-> cmpt 4459    X. cxp 4947    o. ccom 4953   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   Grpcgrp 15530    GrpHom cghm 15864    GrpAct cga 15927   SymGrpcsymg 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-tset 14377  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-ghm 15865  df-ga 15928  df-symg 16003
This theorem is referenced by:  cayleylem1  16037
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