Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  galactghm Structured version   Unicode version

Theorem galactghm 16554
 Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group and the symmetric group . (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x
galactghm.h
galactghm.f
Assertion
Ref Expression
galactghm
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2
2 eqid 2457 . 2
3 eqid 2457 . 2
4 eqid 2457 . 2
5 gagrp 16456 . 2
6 gaset 16457 . . 3
7 galactghm.h . . . 4
87symggrp 16551 . . 3
96, 8syl 16 . 2
10 eqid 2457 . . . . 5
111, 10gapm 16470 . . . 4
126adantr 465 . . . . 5
137, 2elsymgbas 16533 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
1511, 14mpbird 232 . . 3
16 galactghm.f . . 3
1715, 16fmptd 6056 . 2
18 df-3an 975 . . . . . 6
191, 3gaass 16461 . . . . . 6
2018, 19sylan2br 476 . . . . 5
2120anassrs 648 . . . 4
2221mpteq2dva 4543 . . 3
235adantr 465 . . . . 5
24 simprl 756 . . . . 5
25 simprr 757 . . . . 5
261, 3grpcl 16189 . . . . 5
2723, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . . 4
286adantr 465 . . . . 5
29 mptexg 6143 . . . . 5
3028, 29syl 16 . . . 4
31 oveq1 6303 . . . . . 6
3231mpteq2dv 4544 . . . . 5
3332, 16fvmptg 5954 . . . 4
3427, 30, 33syl2anc 661 . . 3
3517adantr 465 . . . . . 6
3635, 24ffvelrnd 6033 . . . . 5
3735, 25ffvelrnd 6033 . . . . 5
387, 2, 4symgov 16541 . . . . 5
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . 4
401gaf 16459 . . . . . . 7
4140ad2antrr 725 . . . . . 6
4225adantr 465 . . . . . 6
43 simpr 461 . . . . . 6
4441, 42, 43fovrnd 6446 . . . . 5
45 mptexg 6143 . . . . . . 7
4628, 45syl 16 . . . . . 6
47 oveq1 6303 . . . . . . . 8
4847mpteq2dv 4544 . . . . . . 7
4948, 16fvmptg 5954 . . . . . 6
5025, 46, 49syl2anc 661 . . . . 5
51 mptexg 6143 . . . . . . . 8
5228, 51syl 16 . . . . . . 7
53 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
5453mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8
5554, 16fvmptg 5954 . . . . . . 7
5624, 52, 55syl2anc 661 . . . . . 6
57 oveq2 6304 . . . . . . 7
5857cbvmptv 4548 . . . . . 6
5956, 58syl6eq 2514 . . . . 5
60 oveq2 6304 . . . . 5
6144, 50, 59, 60fmptco 6065 . . . 4
6239, 61eqtrd 2498 . . 3
6322, 34, 623eqtr4d 2508 . 2
641, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63isghmd 16402 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   cmpt 4515   cxp 5006   ccom 5012  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   cplusg 14711  cgrp 16179   cghm 16390   cga 16453  csymg 16528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-ghm 16391  df-ga 16454  df-symg 16529 This theorem is referenced by:  cayleylem1  16563
 Copyright terms: Public domain W3C validator