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Theorem galactghm 16554
Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group  G and the symmetric group  ( SymGrp `  Y
). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
galactghm.h  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
galactghm.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
galactghm  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .(+) , y    x, X, y    x, H    x, Y, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    H( y)

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2457 . 2  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
3 eqid 2457 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2457 . 2  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
5 gagrp 16456 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
6 gaset 16457 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
7 galactghm.h . . . 4  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
87symggrp 16551 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  H  e.  Grp )
96, 8syl 16 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  H  e.  Grp )
10 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )
111, 10gapm 16470 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
) : Y -1-1-onto-> Y )
126adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
137, 2elsymgbas 16533 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1511, 14mpbird 232 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  e.  ( Base `  H ) )
16 galactghm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
1715, 16fmptd 6056 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F : X --> ( Base `  H )
)
18 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )  <->  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )
191, 3gaass 16461 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( (
z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y )  =  ( z 
.(+)  ( w  .(+)  y ) ) )
2018, 19sylan2br 476 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+)  y )
) )
2120anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w 
.(+)  y ) ) )
2221mpteq2dva 4543 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
235adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
24 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  z  e.  X )
25 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  w  e.  X )
261, 3grpcl 16189 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z
( +g  `  G ) w )  e.  X
)
286adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  Y  e.  _V )
29 mptexg 6143 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  e.  _V )
31 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y ) )
3231mpteq2dv 4544 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3332, 16fvmptg 5954 . . . 4  |-  ( ( ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X  /\  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )  -> 
( F `  (
z ( +g  `  G
) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3427, 30, 33syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3517adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
3635, 24ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  e.  (
Base `  H )
)
3735, 25ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  e.  (
Base `  H )
)
387, 2, 4symgov 16541 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( Base `  H )  /\  ( F `  w )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( F `  z
) ( +g  `  H
) ( F `  w ) )  =  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w )
) )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( ( F `  z
)  o.  ( F `
 w ) ) )
401gaf 16459 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4140ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4225adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  w  e.  X )
43 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
4441, 42, 43fovrnd 6446 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
w  .(+)  y )  e.  Y )
45 mptexg 6143 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
)  e.  _V )
4628, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) )  e.  _V )
47 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( w  .(+)  y ) )
4847mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
4948, 16fvmptg 5954 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  w
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
5025, 46, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  =  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
) )
51 mptexg 6143 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
)  e.  _V )
5228, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  e.  _V )
53 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  y ) )
5453mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5554, 16fvmptg 5954 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  z
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5624, 52, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
) )
57 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
z  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  x ) )
5857cbvmptv 4548 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x ) )
5956, 58syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x )
) )
60 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  .(+)  y )  ->  ( z  .(+)  x )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) )
6144, 50, 59, 60fmptco 6065 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6239, 61eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6322, 34, 623eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( ( F `  z ) ( +g  `  H
) ( F `  w ) ) )
641, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63isghmd 16402 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006    o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   Grpcgrp 16179    GrpHom cghm 16390    GrpAct cga 16453   SymGrpcsymg 16528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-ghm 16391  df-ga 16454  df-symg 16529
This theorem is referenced by:  cayleylem1  16563
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