MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gaid2 Structured version   Unicode version

Theorem gaid2 16136
Description: A group operation is a left group action of the group on itself. (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaid2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gaid2.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gaid2.3  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x  .+  y
) )
Assertion
Ref Expression
gaid2  |-  ( G  e.  Grp  ->  F  e.  ( G  GrpAct  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem gaid2
StepHypRef Expression
1 gaid2.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
21subgid 15998 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  e.  (SubGrp `  G )
)
3 gaid2.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Gs  X )  =  ( Gs  X )
5 gaid2.3 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x  .+  y
) )
61, 3, 4, 5subgga 16133 . . 3  |-  ( X  e.  (SubGrp `  G
)  ->  F  e.  ( ( Gs  X ) 
GrpAct  X ) )
72, 6syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  F  e.  ( ( Gs  X ) 
GrpAct  X ) )
81ressid 14546 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( Gs  X )  =  G )
98oveq1d 6297 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( Gs  X )  GrpAct  X )  =  ( G  GrpAct  X ) )
107, 9eleqtrd 2557 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  F  e.  ( G  GrpAct  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Basecbs 14486   ↾s cress 14487   +g cplusg 14551   Grpcgrp 15723  SubGrpcsubg 15990    GrpAct cga 16122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-subg 15993  df-ga 16123
This theorem is referenced by:  cayleylem1  16232
  Copyright terms: Public domain W3C validator